1 − 3 + 9 − 27 + · · ·
In matematica, 1 − 3 + 9 − 27 + ... è una serie infinita i cui termini sono i successivi fattori di tre a segno alternato. Come una serie geometrica, essa è caratterizzata da un primo termine, 1, e da una proporzione comune, −3.
È possibile con un piccolo accorgimento, scrivere la serie come differenza di altre due serie, separando le potenze pari e dispari:
- che corrisponde a .
Sommatoria numero 1[modifica | modifica wikitesto]
Analizziamo ora la prima sommatoria: .
1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere facendo diventare la somma ;
2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:
Sommatoria numero 2[modifica | modifica wikitesto]
Analizziamo ora la seconda sommatoria: .
1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere facendo diventare la somma , il si può portare fuori e ottenere .
2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:.
Somma parziale[modifica | modifica wikitesto]
Ritornando alla somma iniziale possiamo discutere la sua somma parziale.
Valore Dispari[modifica | modifica wikitesto]
Caso nº1: il numero è dispari.
La somma diventa quindi:
Più precisamente abbiamo che:
Valore Pari[modifica | modifica wikitesto]
Caso nº2: il numero è pari.
La somma diventa quindi: .
In generale[modifica | modifica wikitesto]
Abbiamo così ottenuto le formule per calcolare la somma in tutti i casi:
m dispari =
m pari =