Teorema della media pesata

Il teorema della media pesata è una generalizzazione del teorema della media integrale. L'idea è analoga a quella del teorema della media con la differenza che la misura del dominio di integrazione $[a,b]$ è distribuita in un modo non uniforme regolato da una funzione continua che ne stabilisce la densità in ogni punto.

Enunciato

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue in un intervallo $[a,b]$ e sia $g(x)$ di segno costante in $[a,b]$ (sempre positiva o sempre negativa nell'intervallo). Allora esiste un punto $c\in [a,b]$ tale che $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)dx$.

Dimostrazione

Si può sfruttare il teorema di Weierstrass in quanto f è continua. Allora esistono un $m$ e $M$ tali che $m\leq f(x)\leq M$. Si prenda $g(x)\geq 0$, quindi $mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)$. Usando il teorema del confronto e la linearità degli integrali si ottiene $m\int _{a}^{b}g(x)dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)dx$; dividendo per l'integrale stesso si ottiene $m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int _{a}^{b}g(x)dx}}\leq M$ e per il teorema dei valori intermedi il valore al centro di questa catena di diseguaglianze dovrà essere uguale ad $f(c)$ per qualche $c\in [a,b]$.$\square$

Voci correlate

• Integrale
• Teorema della media integrale
• Valore atteso