Endomorfismo

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Disambiguazione – Se stai cercando il somatotipo, vedi Biotipo costituzionale (Sheldon)#1. Endomorfo:.

In matematica, un endomorfismo di una struttura algebrica è una funzione dall'insieme sostegno della struttura in sé, che preservi le operazioni. In altre parole, è un morfismo della struttura algebrica in sé stessa.

Sia un insieme o una struttura. Si definisce endomorfismo una funzione tale che:

L'endomorfismo si può quindi attuare su un insieme generico; in varie applicazioni risulta importante considerare gli endomorfismi basati su spazi vettoriali.

Si indica invece con l'insieme degli endomorfismi di

Operazioni binarie

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Se un insieme è dotato di un'operazione binaria , che associa a due elementi e un altro elemento di un endomorfismo di è una funzione tale che

per ogni e in L'esempio più importante di insieme dotato di operazione binaria è il gruppo.

Ad esempio, la funzione dal gruppo dei numeri interi in sé è un endomorfismo rispetto all'operazione di somma. La funzione invece no.

Spazi vettoriali

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Se è uno spazio vettoriale, un endomorfismo di è un'applicazione lineare da in sé stesso

Data la precedente definizione relativa agli spazi vettoriali, è interessante chiedersi, essendo l'immagine dell'endomorfismo un sottoinsieme di se esistono in dei sottospazi di dimensione 1 che sono lasciati invariati per l'azione dell'endomorfismo. Ci si chiede cioè se esistono degli insiemi tali che . La ricerca di questi sottospazi è riconducibile alla ricerca di particolari vettori, detti autovettori di [1].

  • Un endomorfismo che è anche biiettivo è un automorfismo.
  • La funzione identità normalmente è un endomorfismo.
  • La composizione di due endomorfismi è un endomorfismo, e quindi la composizione definisce un'operazione binaria su
  • Definiamo determinante di un endomorfismo su uno spazio vettoriale di dimensione finita: , ossia il determinante della matrice associata. Esso non dipende dalla base
  • Definiamo traccia di un endomorfismo su uno spazio vettoriale di dimensione finita: , ossia la traccia della matrice associata. Essa non dipende dalla base
  1. ^ M. Landucci, Argomenti di geometria, Firenze, 1996, p. 222.

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