Calcolo combinatorio

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Il calcolo combinatorio è la branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti. Il calcolo combinatorio si interessa soprattutto di contare tali modi, ossia le configurazioni.

Dato un insieme di oggetti si vogliono contare le configurazioni che possono assumere oggetti tratti da questo insieme, e per far ciò bisogna precisare due punti importanti:

  • se l'ordinamento è importante, ovvero se due configurazioni sono le stesse a meno di un riordinamento;[1]
  • se si possono avere più ripetizioni di uno stesso oggetto, ovvero se uno stesso oggetto dell'insieme può o meno essere riusato più volte all'interno di una stessa configurazione.
Lo stesso argomento in dettaglio: Permutazione e Fattoriale.

Permutazioni semplici (senza ripetizioni)

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Una permutazione di un insieme di oggetti è una presentazione ordinata, cioè una sequenza, dei suoi elementi nella quale ogni oggetto viene presentato una ed una sola volta. Per contare quante siano le permutazioni di un insieme con oggetti, si osservi che il primo elemento della configurazione può essere scelto in modi diversi, il secondo in , il terzo in e così via sino all'ultimo che potrà essere preso in un solo modo essendo l'ultimo rimasto. Dunque, indicando con il numero delle possibili permutazioni di un insieme di elementi, si ottiene che esse sono esattamente ( fattoriale):

Da cui si deduce come caso particolare . Per completare la definizione di fattoriale mantenendone le proprietà si pone: [2]

  • Le permutazioni degli elementi dell'insieme sono : .
  • In quanti modi possibili si può anagrammare la parola "MONTE"[3], contando anche le parole prive di significato?
La parola MONTE è composta da lettere diverse tra loro, quindi ;
Le permutazioni possibili sono:
modi di anagrammare la parola MONTE.

Permutazioni con ripetizioni

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In alcuni casi un insieme può contenere elementi che si ripetono. In questo caso alcune permutazioni di tali elementi saranno uguali tra loro. Indicando con , fino a il numero di volte che si ripetono rispettivamente gli elementi fino a , dove , le permutazioni uniche (non ripetute) divengono:

[4][5]

Si tratta, infatti, di dividere il numero delle distinte permutazioni di oggetti per il numero delle permutazioni di presenze di uno stesso elemento, tutte uguali tra loro, poi per il numero delle permutazioni di presenze di uno stesso elemento, ecc.

La formula vale in realtà per qualsiasi permutazione, anche senza ripetizioni di elementi. Infatti, se si assume fino a uguali ad (cioè gli elementi si ripetono una sola volta), si ottiene esattamente la formula delle permutazioni semplici, perché si ha:

  • Le permutazioni di sono: , ossia: .
  • In quanti modi è possibile anagrammare la parola "FARFALLA"?
Le lettere contenute nella parola sono ; gli elementi che si ripetono sono:
la lettera F
la lettera A
la lettera L
Utilizzando la formula, avremo:
Lo stesso argomento in dettaglio: Dismutazione (matematica).

Sono dette dismutazioni le permutazioni prive di punti fissi, il cui valore approssimato è dato da:

Disposizioni (sequenze ordinate)

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Lo stesso argomento in dettaglio: Disposizione.

Disposizioni semplici (senza ripetizioni)

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Una disposizione semplice di lunghezza di elementi di un insieme di oggetti, con , è una presentazione ordinata di elementi di nella quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto.

Per avere il numero di queste configurazioni si considera che il primo componente di una tale sequenza può essere scelto in modi diversi, il secondo in e così via, sino al esimo che può essere scelto in modi diversi. Pertanto il numero di disposizioni semplici di oggetti estratti da un insieme di oggetti è dato da:

Si osserva che le permutazioni sono casi particolari delle disposizioni semplici: le permutazioni di un insieme di oggetti sono le disposizioni semplici di tali oggetti di lunghezza . In effetti per il loro numero:

[2]
  • Le disposizioni semplici di lunghezza 2 degli elementi dell'insieme sono , ossia sono i numeri: .

Disposizioni con ripetizioni

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Una presentazione ordinata di elementi di un insieme nella quale si possono avere ripetizioni di uno stesso elemento si dice disposizione con ripetizioni. Si cerchi ora il numero delle possibili sequenze di oggetti estratti dagli elementi di un insieme di oggetti, ognuno dei quali può essere preso più volte. Si hanno possibilità per scegliere il primo componente, per il secondo, altrettante per il terzo e così via, sino al esimo che completa la configurazione. Il numero cercato è pertanto:

[6]

Si fa notare che può anche essere .

  • Le disposizioni con ripetizione di lunghezza degli elementi di sono: ,
ossia: .
  • I byte usati in informatica sono disposizioni di oggetti sugli elementi che possono quindi assumere valori distinti: .

Combinazioni (sequenze non ordinate)

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Lo stesso argomento in dettaglio: Combinazione.

Combinazioni semplici (senza ripetizioni)

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Si chiama combinazione semplice una presentazione di elementi di un insieme nella quale non ha importanza l'ordine dei componenti e non si può ripetere lo stesso elemento più volte. La collezione delle combinazioni di elementi estratti da un insieme di oggetti distinti si può considerare ottenuta dalla collezione delle disposizioni semplici di lunghezza degli elementi di ripartendo tali sequenze nelle classi delle sequenze che presentano lo stesso sottoinsieme di e scegliendo una sola sequenza da ciascuna di queste classi. Ciascuna delle suddette classi di sequenza di lunghezza contiene sequenze, in quanto accanto a una sequenza si hanno tutte e sole quelle ottenibili permutando i componenti della . Quindi il numero delle combinazioni semplici di elementi di lunghezza si ottiene dividendo per il numero delle disposizioni semplici di elementi di lunghezza :

[2]

Di solito tra le diverse disposizioni semplici di una classe si sceglie come combinazione rappresentativa la sequenza nella quale i componenti compaiono in ordine crescente (tutti gli insiemi finiti possono avere gli elementi ordinati totalmente, ovvero associati biunivocamente ai primi interi positivi).

  • Le combinazioni semplici di lunghezza degli elementi di sono:
,
cioè:

Combinazioni con ripetizioni

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Quando l'ordine non è importante, ma è possibile avere componenti ripetute, si parla di combinazioni con ripetizione. Il numero di combinazioni con ripetizione di oggetti di classe è uguale a quello delle combinazioni senza ripetizione di oggetti di classe ed è quindi uguale a:

[2]
  • Vi sono modi di distribuire a 2 bambini distinguibili 4 caramelle indistinguibili, contando anche i casi in cui uno dei bambini non riceva alcuna caramella: . Equivalentemente, le combinazioni con ripetizioni informano sul numero di possibili uple di addendi non negativi la cui somma sia (considerando diverse uple in cui eguali addendi compaiano in ordine differente); nel suddetto esempio, sono mostrate le cinque diverse coppie di somma .


  1. ^ rispondendo ad esempio alla domanda: è uguale a ?
  2. ^ a b c d Cenni di calcolo combinatorio, su Università di Bologna.
  3. ^ nella parola MONTE nessuna lettera si ripete
  4. ^ Permutazioni con ripetizione, su SOS matematica.
  5. ^ Permutazioni con ripetizione, su Formuliamo.
  6. ^ Disposizione con ripetizione, su Formuliamo.

Voci correlate

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