Utente:Alessio2020/Sandbox4

In geometria, l'invariante di Dehn di un poliedro è un valore usato per determinare se dei poliedri possano essere dissezionati in altri or se possano riempire una tassellazione dello spazio. Il suo nome è dovuto a Max Dehn, che l'ha usata per risolvere il terzo problema di Hilbert sulla questione se tutti i poliedri con uno stesso volume potessero essere sezionati negli altri.

Due poliedri possono essere suddivisi in parti che possono essere riassmblate nell'altro, se e solo se i loro volumi e le loro invarianti di Dehn sono uguali. Un poliedro può essere tagliato e riassemblato per tassellare lo spazio se e solo se la sua invariante di Dehn è zero, quindi avere questa invariante pari a zero è una condizione necessaria affinché il poliedro in questione possa riempire lo spazio indefinitamente. È anche un problema aperto se l'invariante di Dehn di un poliedro flessibile e che si interseca con sé stesso, non cambi mentre il poliedro si flette.

L'invariante di Dehn è zero per il cubo ma non per gli altri solidi platonici, implicando che gli altri solidi non possano tassellare lo spazio e che non possano essere riassemblati in un cubo. Tutti i solidi archimedei hanno invarianti di Dehn che sono combinazioni razionali delle invarianti dei solidi platonici. In particolare, l'ottaedro troncato può tassellare lo spazio in quanto la sua invariante è zero come il cubo.

Le invarianti di Dehn dei poliedri sono elementi di uno spazio vettoriale ad infinite dimensioni. Come un gruppo abeliano, questo spazio è parte di una esatta sequenza che implica l'omologia di gruppo. Invarianti simili possono essere definite per altri rompicapi di dissezione, incluso il problema di dissezionare poligoni rettilinei tra di loro utilizzando tagli paralleli agli assi e traslazioni.

Contesto

In due dimensioni, il Teorema di Bolyai-Gerwien afferma che due poligoni qualsiasi di area uguale possano essere divisi in parti poligonali e riassemblati nell'altro. David Hilbert si interessò alla questione poiché cercava di assiomatizzare l'area, in connessione con gli assiomi di Hilbert per la geometria euclidea. Nel terzo problema di Hilbert, pose la questione sul se tutti i poliedri con uno stesso volume potessero essere sezionati negli altri. Max Dehn, studente di Hilbert, nella sua tesi di abilitazione del 1900, inventò l'invariante di Dehn per provare che non è sempre possibile, dando una soluzione negativa al problema di Hilbert. Nonostante Dehn formulò la sua invariante differentemente, l'approccio moderno è di descriverlo come un valore in un prodotto tensoriale.