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Il lemma di Slutsky è una delle applicazioni del teorema di Slutsky, utilizzato in particolare per dimostrare che la continuità di una funzione
è condizione necessaria e sufficiente per la conservazione della convergenza in probabilità.
Siano
e
variabili casuali k-dimensionali; considero
continua e ipotizzo che
. Allora:
Fisso
. Considero un compatto
t.c.
. Dunque:
. Dal teorema di Heine-Cantor, so che una funzione continua su un compatto è anche uniformemente continua, cioè
t.c. se
allora
.
Per ipotesi so che
, cioè
t.c.
, ![{\displaystyle P(|X_{n}-X|<\delta )\geq 1-{\frac {1}{2}}\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aece69f8c27e536c3533539697960bfc29c0d5b3)
Ora
![{\displaystyle P(|X_{n}-X|<\delta )=P(|X_{n}-X|<\delta ,X\in S)+P(|X_{n}-X|<\delta ,X\notin S)\leq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdfb1c2da532c74268bef34d95f20e6ac511858a)
![{\displaystyle \leq P(|X_{n}-X|<\delta ,X\in S)+P(X\notin S)\leq P(|X_{n}-X|<\delta ,X\in S)+{\frac {1}{2}}\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05690d66574c988311644ef192a927448b70c398)
Dunque
![{\displaystyle P(|X_{n}-X|<\delta ,X\in S)\geq 1-\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d971c44699383466984730847ec856a3f7a0b76a)
e quindi, per l'uniforme continuità
![{\displaystyle P(|g(X_{n})-g(X)|<\eta )\geq 1-\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6823d587f2a2fe70f7002f2db77dcc1ebe9d7863)
cioè
![{\displaystyle g(X_{n}){\stackrel {p}{\rightarrow }}g(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b440145b97823f7a97cf7aedca9a6ef90ea123)
che è la tesi.