Teorema di Cauchy (meccanica del continuo)

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Nella meccanica del continuo, il teorema di Cauchy, noto anche come teorema di Cauchy-Poisson, afferma che, in un dominio fluido sottoposto a forze di massa e di contatto, la risultante degli sforzi agente sulla superficie di qualsiasi punto secondo una generica giacitura è univocamente definita una volta riferiti gli sforzi a una giacitura cartesiana. Nella definizione delle forze di contatto, infatti, ci si riferisce a una generica giacitura della superficie, per cui la cui risultante degli sforzi potrebbe avere infiniti gradi di libertà, rendendo il problema indeterminato. In altri termini, il teorema di Cauchy-Poisson afferma che le equazioni cardinali della statica ammettono, oltre alla forma generale, una locale.

Dimostrazione

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Il tetraedro di Cauchy soggetto a sforzi

Preso un sistema di riferimento cartesiano centrato in e con orientamento arbitrario, sul quale la tensione è data dalle distribuzioni degli sforzi:

a partire da una combinazione lineare di queste è possibile ricavare una qualunque , cioè conoscendo tre distribuzioni degli sforzi, relative a tre tagli mutualmente ortogonali, consente di conoscere tutto lo stato tensionale.

L'intorno tetraedrico di , individuato dai punti e di volume , è detto tetraedro di Cauchy. La faccia possiede una giacitura costante , le cui componenti sono i coseni direttori dello sforzo. Sulla faccia agirà la distribuzione di sforzi , su agirà , su agirà ed infine su agirà . Si consideri quindi questo dominio fluido soggetto ad azioni di contatto su tutte e quattro le facce. Chiamando l'areola infinitesima dove agisce la tensione, le sono le proiezioni sui piani coordinati di :

Le si possono considerare applicate nei baricentri delle facce del tetraedro di Cauchy, dato che gli errori sono infinitesimi; inoltre, nel baricentro del tetraedro agisce anche la forza di gravità . Pertanto l'equilibrio alla traslazione è:

da cui si ricava che

il che equivale ad affermare la linearità di rispetto a . La precedente relazione può essere riscritta in forma tensoriale come:

dove è il tensore delle tensioni in , noto il quale è possibile conoscere completamente lo stato tensionale.

Voci correlate

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