Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata prima del prodotto di
funzioni
con
tutte derivabili:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d914d5b0e94301307da282eb0a2f6479537eb9a)
La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in
è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:
![{\displaystyle \left[g(x)f(x)\right]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d182cea6eb9656e22842e319dd6a3889d0a03b)
Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni
e
derivabili in
:
![{\displaystyle [f(x)g(x)]'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26934c6b0255af14df1f04b54d2844b9259f8153)
Ora sottraiamo e sommiamo la quantità
:
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0400f6c8017d1bcc0bcf2c1e3c19e383f3d542c)
Raccogliendo
e
si ottiene
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}f(x+h)\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}g(x)\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cff5e2ded77a976508cd17b001e32fa2c9b0ae8)
Siccome le funzioni
e
sono, per ipotesi, derivabili in
, quindi è qui anche continua sia
che
. Si conclude che:
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4bc8af73c5cb7314cb6788ef46a84a43d05f09)
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3198e8c2269e85e1ca0926372b1833d95d923fea)
e quindi:
![{\displaystyle f(x)g'(x)+f'(x)g(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b902941fd3260746c178274543023bc1fb859a2)
come volevasi dimostrare.
La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui
e
sono due funzioni di
. Allora il differenziale di
è
![{\displaystyle d(fg)=(f+df)(g+dg)-fg=f(dg)+g(df)+(df)(dg).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caea99962af522d9d5bf4410e39acf2689ff995a)
Siccome il termine
è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che
![{\displaystyle d(fg)=f(dg)+g(df).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d707ebcf3eec5d2893ff10eba9bef5cee6fc3ee)
Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale
, si ottiene
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(fg)=f\left({\frac {dg}{dx}}\right)+g\left({\frac {df}{dx}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af99dd7da81922b8fca0fb48f009fb71a17b2a5)
che corrisponde nella notazione di Lagrange a:
![{\displaystyle (fg)'=fg'+f'g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5d45eebc239a2f713ce0e542498a4422281964)
Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione
per una costante
:
![{\displaystyle D\left[kf(x)\right]=k\cdot f'(x)+k'\cdot f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24a3ffa47dda997fe358ccedef0276445498251)
ma
essendo derivata di una costante allora, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi
![{\displaystyle D\left[kf(x)\right]=kf'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcc2ab6785139dfa97f892247a9b2dbe637aaa5)
La regola può essere generalizzata anche per una collezione di
funzioni derivabili,
,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:
- La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.
![{\displaystyle (f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x))'=f_{1}'(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}(x)+f_{1}(x)f_{2}^{\prime }(x)\cdots f_{n}(x)+\cdots +f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{n}^{\prime }(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea1fd5554e9052ab4a16c86f39848a79bc1401c)
più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni
prive di zeri:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\sum _{j=1}^{k}{\frac {f'_{j}(x)}{f_{j}(x)}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47cfa78e66f7d6a178edfbf83a481f8f623af0f5)
Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che
![{\displaystyle {d \over dx}ax^{n}=nax^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86249a99e29e5a2e227099078a4a7110763d6331)
per
intero positivo:[1]
è una produttoria di
funzioni uguali tutte uguali a
, per cui, per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di
elementi tutti uguali tra loro:
![{\displaystyle n{\frac {x'}{x}}x^{n}=nx^{n-1}\cdot x'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87ba82c9f4c88db199a4743b01d3cc25d7d940a)
Applicando ora l'ipotesi induttiva del principio di induzione per
e ricordando che
, possiamo scrivere:
![{\displaystyle nx^{n-1}\cdot x'=nx^{n-1}\cdot (1\cdot x^{1-1})=nx^{n-1}\cdot x^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2820d10df2797a5c43976e1f7f44f4388b0fb78)
Il risultato segue ricordando che
Le derivate successive
-sime del prodotto di due funzioni sono:
[2]
dove
indica il coefficiente binomiale.
Proviamo a derivare due volte la funzione
, usando il fatto che la derivata di
è sempre uguale a sé stessa.
![{\displaystyle {\begin{aligned}D^{(2)}[x^{3}e^{x}]&={2 \choose 0}6xe^{x}+{2 \choose 1}3x^{2}e^{x}+{2 \choose 2}x^{3}e^{x}\\&=1\cdot 6xe^{x}+2\cdot 3x^{2}e^{x}+1\cdot x^{3}e^{x}\\&=6xe^{x}+6x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3296cd92d5b0ce0fc11743199363ca9bd3cc348f)
Per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:
![{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}x^{a}={\frac {a!}{(a-n)!}}x^{a-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af9c033e1810fe5bcc60856bd9fe37a54cff08d)
- ^ per
non intero e positivo occorre ricorrere ad altre dimostrazioni
- ^ Il riferimento apicale essendo tra parentesi non indica un esponente ma l'ordine di derivazione secondo la notazione di Lagrange