Fasore

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In elettrotecnica un fasore è un numero complesso che rappresenta un'onda sinusoidale di una specifica frequenza.[1] Essendo un numero complesso è rappresentabile nel piano complesso come un vettore sfasato rispetto all'asse reale di un certo angolo o fase, da qui l'origine del termine fasore, parola macedonia composta da fase e vettore. I fasori sono utilizzati dal metodo simbolico quale comoda rappresentazione in campo complesso di grandezze fisiche reali oscillanti come, in particolare, le grandezze elettriche, tensione o corrente.

Rappresentazione del vettore rotante

Un'onda sinusoidale è caratterizzata da un'ampiezza , una frequenza e una fase iniziale . Alla frequenza, grandezza pari all'inverso del periodo dell'onda, è possibile associare una pulsazione tale per cui l'equazione dell'onda allora risulta:[2]

Nell'analisi dei circuiti elettrici in corrente alternata è necessario effettuare diverse operazioni algebriche tra sinusoidi, allora per semplificare i calcoli è possibile associare univocamente a ogni onda sinusoidale un numero complesso detto fasore. Si definisce allora un numero complesso tale che la sua parte reale sia pari alla funzione , e che abbia parte immaginaria tale da poter impiegare direttamente la formula di Eulero, essendo la parte reale una funzione coseno. Si determina allora il numero complesso:[3]

In elettrotecnica l'unità immaginaria è indicata con la lettera al fine di evitare confusione con l'intensità di corrente, generalmente indicata con la lettera . In un sistema di coordinate polari, tramite la formula di Eulero, il numero complesso appena ottenuto è riscrivibile come:[3]

Sul piano complesso è possibile rappresentare come un vettore di modulo sfasato rispetto all'asse reale di angolo . Siccome però il numero ottenuto è si ha che lo sfasamento con l'asse reale varia di un fattore , si ha così nel piano complesso un vettore di che ruota in senso antiorario a velocità angolare . Date queste proprietà il numero ottenuto è definito vettore rotante. Se le operazioni algebriche sono da effettuare su circuiti lineari caratterizzati da tensioni e correnti alternate di uguale frequenza allora è conveniente definire il fasore come un vettore sul piano complesso di modulo pari al valore efficace della sinusoide (grandezza tale che ) e fase .[3]

La corrispondenza tra sinusoide e fasore allora è:[4]

In modo del tutto equivalente, definito il fasore complesso coniugato si ha che:

Somma e differenza

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Definito il fasore e in modo analogo allora la somma tra i due è:[5]

Per estensione la sommatoria di fasori è:[5]

La differenza è realizzabile come la somma di fasori opposti:

Prodotto e rapporto

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Definiti i fasori e allora il loro prodotto è:

Per estensione la produttoria di fasori è:

Considerati i fasori e allora il loro rapporto è:

Considerato il numero complesso coniugato allora il prodotto coniugato è:

In particolare se allora:

Derivata e integrale

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Considerato il fasore e il suo vettore rotante associato allora simbolicamente si indica la derivata del fasore come il fasore della derivata del vettore rotante:

Siccome allora la derivazione moltiplica il modulo di un fattore e introduce uno sfasamento in ritardo di .

Analogamente per l'integrale:

Siccome allora l'integrazione moltiplica il modulo di un fattore e introduce uno sfasamento in anticipo di .

Leggi costitutive dei bipoli

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Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo simbolico.

Considerato un resistore di resistenza su cui è applicata una corrente alternata allora per la legge di Ohm la tensione sul resistore è:

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

In particolare si nota che il valore efficace della tensione è mentre la fase è . In termini di fasori allora:

La relazione costitutiva dell'induttore è:

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

In particolare si nota che il valore efficace della tensione è mentre la fase è , si ha quindi che la corrente è in ritardo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:

La relazione costitutiva del condensatore è:

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

In particolare si nota che il valore efficace della corrente è mentre la fase è , si ha quindi che la corrente è in anticipo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:

  1. ^ Fasore, in Dizionario delle scienze fisiche, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
  2. ^ Arturi, p. 182.
  3. ^ a b c Arturi, p. 183.
  4. ^ Arturi, p. 184.
  5. ^ a b Arturi, p. 185.

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