In algebra, il prodotto semidiretto è un'estensione del concetto di prodotto diretto. Così come il prodotto diretto, un prodotto semidiretto di due gruppi
è un gruppo che ha come elementi quelli del prodotto cartesiano
, la cui legge di composizione dipende però anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi
.[1]
Dati due gruppi
ed un omomorfismo
, chiamiamo prodotto semidiretto di
e
secondo
il prodotto cartesiano
dotato della seguente operazione:
![{\displaystyle (a,b)*(c,d)=(a\cdot \psi _{b}(c),b\star d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b7089c78a7c4455caf9c571ccb7e5028afe8d8)
dove indichiamo con
l'automorfismo
appartenente all'insieme
.
Il prodotto semidiretto di
e
secondo
può essere indicato come
.
Il prodotto diretto
è un caso particolare di prodotto semidiretto: quello ottenuto considerando tra
e
l'omomorfismo:
![{\displaystyle \psi (b)=\mathrm {Id} _{1},\quad \forall b\in G_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a277c2413778b06cb9b095b98544b9db368764)
dove
è l'automorfismo identità in
. Infatti l'operazione su
sarà a questo punto:
Questa, per l'appunto, non è altro che l'operazione del prodotto diretto.
Sia
un gruppo e siano
due suoi sottogruppi.
Se:
(
è normale in
),
![{\displaystyle G=HK=\{h*k\mid h\in H,k\in K\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302c2c6712c933aa6bb9fccae07e2c809a48ab97)
![{\displaystyle H\cap K=\{e\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8041475619f2fc5ccc4dbe3ffeb8f231d12daca3)
allora
, dove
(ossia ogni elemento viene mappato da
nel rispettivo automorfismo coniugio).
L'isomorfismo tra
e
sarà quello che manda il generico elemento
in
.
- Dato un gruppo avente ordine
, con
numeri primi distinti,
, esso, per il teorema enunciato e per i teoremi di Sylow[2], sarà decomponibile come:
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a70550bab84f5577e62e33690727ccbfa68663b)
In particolare, se
non divide
(
è la funzione φ di Eulero), l'unico omomorfismo tra
e
è quello che mappa ogni elemento nella funzione identità, e quindi in tale caso
![{\displaystyle G\cong \mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Z} _{q}\times \mathbb {Z} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345fc97c94367ece1fca75706d4e7dcf9d479ec3)
- Ogni gruppo diedrale
è isomorfo al seguente prodotto semidiretto:
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d0acc399d991647d5d99b3bf2b23be7a3966d9)
dove
è l'identità su
e
è l'applicazione che manda ogni elemento
di
nel suo opposto
.[3]
In particolare un isomorfismo
è quello tale che:
![{\displaystyle \phi (r)=(1,0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a150cb6bd0b0afd428869f36785d2ba577c6408)
![{\displaystyle \phi (s)=(0,1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8237a97f093342d62cae2dc56069154694afc773)
e quindi[4]
![{\displaystyle \phi (r^{h}s^{k})=(h,k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152445a025e7ad29004b08dd3b4b1a7621034ce8)
dove
sono rispettivamente una rotazione di angolo minimo e una simmetria fissata.
- Il gruppo di Poincaré, il gruppo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski, è il prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorentz
- Il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein può essere scritto nella forma
![{\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c90213f7e765acb8c0a94472c78f46cbd3ccbd)
ed è perciò prodotto semidiretto del gruppo degli interi,
, con sé stesso.
I prodotti semidiretti sono di aiuto nella classificazione dei gruppi, ad esempio permettono di classificare tutti i gruppi di ordine
con
primi e
:
Se
c'è un solo gruppo ed è
Se
ce ne sono due, uno è
e l'altro, non abeliano, è dato da
Di seguito è riportato un esempio di come il prodotto semidiretto ci può aiutare a classificare i gruppi di un ordine assegnato.
Classificazione dei gruppi di ordine 30:
Sia
allora per i teoremi di sylow
contiene un sottogruppo di ordine 2, uno di ordine 3 e uno di ordine 5, e vale
e
. Non può essere contemporaneamente
e
altrimenti
avrebbe 20 elementi di ordine 3 e 24 di ordine 5, allora almeno uno dei due sottogruppi è normale e possiamo quindi considerare il loro prodotto che è un sottogruppo di
di ordine 15. Per il teorema precedente deve necessariamente essere ciclico e poiché ha indice 2 deve essere normale.
Per il teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto
con
che agisce per coniugio. Contiamo ora gli omomorfismi da
a
questi sono 4, infatti dobbiamo scegliere dove mandare
che ha ordine 2 e poiché
è un omomorfismo
, allora
. Abbiamo mostrato che ci sono al più 4 gruppi di ordine 30 e considerando
è facile vedere che questi sono 4 gruppi di ordine 30 non isomorfi.
Mentre il prodotto diretto di due gruppi abeliani è sempre abeliano, non si può dire altrettanto del prodotto semidiretto (un esempio è dato dai gruppi diedrali, dato che
è non abeliano per ogni
), e anzi, un prodotto semidiretto di due gruppi abeliani è abeliano se e solo se il prodotto semidiretto coincide con quello diretto.
- ^ Dato un gruppo
, si indica con
il gruppo degli automorfismi di
(isomorfismi di
in sé stesso), dotati dell'operazione di composizione.
- ^ Osserviamo che infatti un sottogruppo di ordine
esiste e sarà normale in quanto caratteristico.
- ^ Visto nel gruppo diedrale,
- ^ Essendo
generatori per l'intero gruppo diedrale, l'isomorfismo è ben definito definendo semplicemente le loro immagini.