Il numero di Prandtl (abbreviato con
) è un numero adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica per un fluido viscoso.[1]
Il suo analogo per lo scambio di materia è il numero di Schmidt.
È definito come:[2]
![{\displaystyle \mathrm {Pr} ={\nu \over \alpha }={\mu \,c_{p} \over \lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd210c7db6299b9a8f85f80e2f0d8ef583224f8d)
dove (relativamente al fluido in esame):
è la diffusività cinematica, misurata nel Sistema Internazionale (SI) in
;
è la diffusività termica, misurata nel SI in
;
è la viscosità dinamica, misurata nel SI in
;
è la capacità termica specifica a pressione costante, misurato nel SI in:
;
è la conduttività termica, misurata nel SI in
.
L'equazione dell'energia interna più generale per un corpo continuo è:
,
in cui (relativamente al corpo in esame):
è la derivata materiale dell'entalpia specifica (
), misurata in
;
è la densità di corrente termica, misurata in
;
è l'energia persa per dissipazione viscosa per unità di volume, misurata in
;
è il tensore dello sforzo di taglio, misurato in
;
è il gradiente della velocità del fluido, misurato in
;
è la derivata materiale della pressione, misurata in
.
Le unità di misura sono tutte intese nel Sistema Internazionale.
Questa equazione nel caso di fluido viscoso che segue la legge di Newton-Stokes e la legge di Fourier si riduce a:
,
in cui (relativamente al corpo in esame):
è la densità,
;
è la capacità termica specifica a pressione costante,
;
è la conduttività termica ![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} \cdot \mathrm {K} }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b230a5bf779a1b6c42db06e5507ea4ceeef65f2d)
è la viscosità dinamica ![{\displaystyle (\mathrm {Pa} \cdot \mathrm {s} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b0e424e6660ae561bb31d1fbcef7037beaf972)
è la temperatura
.
Nel caso di conducibilità uniforme questa diventa:
![{\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\mathrm {D} T}{\mathrm {D} t}}=\lambda \nabla ^{2}T+\mu \nabla ^{2}u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b18522c2608cc79bdf82e779da7b15587692dd)
ovvero:
,
in cui (relativamente al fluido in esame):
Il numero di Prandtl si ottiene adimensionalizzando questa equazione. Si pone
e
risulta che:
,
perciò:
,
ora
è l'adimensionale cercato:
quindi l'equazione di bilancio dell'energia diventa:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} 'T'}{\mathrm {D} 't}}=\nabla '^{2}T'+\mathrm {Pr} \nabla '^{2}u'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0439e6f8c524127237f185c9cdf7f3fc4c437a)
Valori tipici del numero di Prandtl sono:
- circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;[3]
- tra 100 e 40000 nel caso degli oli motore;
- circa 0,015 per il mercurio.
- circa 7 per l'acqua (a 20 °C).
Un fluido ideale, per cui valgono le equazioni di Eulero, ha viscosità e conducibilità termica nulle[senza fonte], per cui il numero di Prandtl non è definito per questa classe di fluidi.
- ^ (EN) Warren E. Stewart e Edwin N. Lightfoot, Transport phenomena, 2nd, Wiley international ed, J. Wiley, 2007, p. 268, ISBN 0-471-41077-2, OCLC 46456316. URL consultato il 4 settembre 2022.
- ^ (EN) scienceworld.wolfram.com, Prandtl Number
- ^ (EN) Charles F. Curtiss, R. Byron Bird e University of Wisconsin. Naval Research Laboratory, Molecular theory of gases and liquids, Wiley, 1964, ISBN 0-471-40065-3, OCLC 534717. URL consultato il 4 settembre 2022.
- (EN) R. Byron Bird, Warren E. Stewart e Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena, 2ª ed., Wiley, 2007, ISBN 978-0-470-11539-8.
- (EN) C.F. Curtiss e R. Byron Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, New York, Wiley, 1964, ISBN 978-0-471-40065-3.