Distribuzione Lambda di Wilks

In teoria della probabilità la distribuzione Lambda di Wilks è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da tre parametri, utilizzata nei test di verifica d'ipotesi nell'ambito della statistica multivariata. Le distribuzioni di Fisher-Snedecor (ed in particolare la t di Student) e T di Hotelling sono dei casi particolari della Lambda di Wilks.

Lambda di Wilks e la variabile casuale di Wishart

Siano date due variabili casuali indipendenti con distribuzione di Wishart

$A\sim W_{p}(I,m)\qquad B\sim W_{p}(I,n)$

e con $m\geq p$, allora la distribuzione Lambda di Wilks è definita da

$\lambda ={\frac {|A|}{|A+B|}}={\frac {1}{|I+A^{-1}B|}}\sim \Lambda (p,m,n).$

Lambda di Wilks e la variabile casuale Beta

Siano date le n variabili casuali distribuite come una variabile casuale Beta

$u_{i}\sim B\left({\frac {m+i-p}{2}},{\frac {p}{2}}\right)$

allora

$\prod _{i=1}^{n}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).$

Dal che si ottiene la variabile casuale Beta come un caso particolare della Lambda di Wilks, in quanto

$\Lambda (p,m,1)\sim B\left({\frac {m+1-p}{2}},{\frac {p}{2}}\right)$

e di conseguenza $\Lambda (2,3,1)$ corrisponde alla variabile casuale rettangolare definita tra zero e uno.

Lambda di Wilks approssimata dalla variabile casuale Chi quadrato

Per m grande, l'approssimazione di Bartelett permette di approssimare una Lambda di Wilks con una variabile casuale chi quadro

$\left({\frac {p-n+1}{2}}-m\right)\log \Lambda (p,m,n)\sim \chi _{np}^{2}.$