Utente:Pino723/Sandbox/s2

Disposizioni

Disposizione semplici (senza ripetizione)

Dato un insieme $A$ costituito da $n$ elementi distinti, una disposizione semplice di elementi presi a $k$ a $k$, con $k<n$, è una sequenza ordinata di $k$ elementi distinti estratti da $A$ per cui ogni raggruppamento differisce dagli altri per almeno un elemento o per l'ordine in cui gli elementi si susseguono e ogni elemento . In tal caso il numero di disposizioni semplici è dato da:

$D_{n,k}={n! \over {(n-k)!}}$

Dimostrazione

Il numero di disposizioni semplici di $n$ elementi di classe $k$ è dato da:

$D_{n,k}=\underbrace {n\cdot (n-1)\cdot \ \cdots \ \cdot (n-k+1)} _{k\ volte}$

Infatti, ad esempio per $n=4$ e $k=2$ si ha:

$D_{4,2}=\underbrace {4\cdot 3} _{2\ volte}$

mentre se $k=3$ si ha:

$D_{4,3}=\underbrace {4\cdot 3\cdot 2} _{3\ volte}$

Se a $D_{n,k}$ si moltiplica e si divide per $(n-k)!$ in modo da completare il fattoriale a numeratore e ottenere così $n!$, si ha:

$D_{n,k}=n\cdot (n-1)\cdot \ \cdots \ \cdot (n-k+1)={{n\cdot (n-1)\cdot \ \cdots \ \cdot (n-k+1)\cdot (n-k)!} \over {(n-k)!}}={{n!} \over {(n-k)!}}$

Ad esempio: dato $A=\{a,b,c\}$, per cui $n=3$, volendo scrivere tutte le possibili disposizioni semplici di classe $k=2$ si ha: $a,b;\ \ a,c;\ \ b,a;\ \ b,c;\ \ c,a;\ \ c,b$.

Graficamente risulta:

	a				b				c
b		c		a		c		a		b

Permutazioni semplici

Dato un insieme $A$ costituito da $n$ elementi distinti, una permutazione semplice di elementi è una sequenza ordinata di $n$ elementi distinti estratti da $A$ per cui ogni raggruppamento differisce dagli altri per l'ordine in cui gli elementi si susseguono e ogni elemento. In tal caso il numero di permutazioni semplici è dato da:

$P_{n}={n!}$

Il numero di permutazioni semplici di $n$ elementi può essere interpretato come un caso particolare di disposizioni semplici in cui $k=n$, infatti:

$D_{n,n}={n! \over {(n-n)!}}={n! \over {0!}}={n! \over 1}=n!=P_{n}$

Disposizioni con ripetizione

Dato un insieme $A$ costituito da $n$ elementi distinti, una disposizione con ripetizione di elementi presi a $k$ a $k$, con $k<n$, è una sequenza ordinata di $k$ elementi estratti da $A$ per cui ogni elemento può essere ripetuto fino a $k$ volte e ogni raggruppamento differisce dagli altri per almeno un elemento o per l'ordine in cui gli elementi si susseguono. In tal caso il numero di disposizioni con ripetizione è dato da:

$D'_{n,k}=n^{k}$

Note

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Categoria:

• Distribuzioni di probabilità