Utente:Mauro Pul/Sandbox

Descrizione

Sono auto-funzioni dell'energia costituite da onde piane modulate nello spazio da una funzione periodica u_nk, di periodo pari a quello del potenziale del sistema quantistico associato:

$\psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ).$

Oltre a descrivere gli autostati dell'hamiltoniana per gli elettroni in un cristallo, possono essere usati per altri sistemi periodici come i fotoni in un cristallo fotonico. Tale descrizione è garantita da un risultato generale della meccanica quantistica, noto come Teorema di Bloch.

In base al teorema di Bloch, le funzioni ψ possono essere etichettate, in modo unico, da due numeri quantici: il vettore d'onda k che varia, in accordo alle condizioni periodiche al contorno, nella cosiddetta prima zona di Brillouin del cristallo. Il vettore ħk è detto quasi-impulso o quasimomento dell'elettrone (con funzione d'onda ψ_nk) nel cristallo; il secondo è il numero discreto n, detto indice di banda, è presente dato che ci sono tante funzioni d'onda con lo stesso k, ma che appartengono a bande di energia diverse.

Teoria dei Gruppi: derivazione del teorema di Bloch

Si consideri un cristalli periodico, per semplicità uno-dimensionale, di $N$ ioni, di periodo $a$ e lunghezza $L$; con condizioni periodiche al contorno tali che:

$\psi (0)=\psi (L)=\psi (Na)$

Richiamando l'operatore delle traslazioni $T_{a}$:

$T_{a}\psi (x)=\psi (x+a)$.

L'hamiltoniana, come detto nel sezione precederne, è invariante per traslazioni discrete, questo significa che l’invarianza ha periodo $a$. Il gruppo di simmetria di questa hamiltoniana è il gruppo ciclico cioè un gruppo abeliano:

$\left\{A^{1},A^{2},\ldots ,A^{N}=E\right\}$

si consideri una rappresentazione irriducibile:

$\Gamma (A)=r\in \mathbb {C}$

l'h-esima traslazione sara:

$\Gamma (A^{h})=[\Gamma (A)]^{h}=r^{h}$

in particolare l'identità $E$$(=A^{N})$:

$\Gamma (E)=\Gamma (A^{N})=[\Gamma (A)]^{N}=r^{N}=1$

dalla complessità di $r$segue:

$r_{m}=e^{i{\frac {2\pi }{N}}m}\quad m(=1\ldots N)\in \mathbb {N}$

Usando la rappresentazione irriducibile, appena trova, è possibile scrivere l'operazione di traslazione come:

$\psi _{m}(x+a)=T_{m}\psi _{m}(x)=\Gamma (A^{m})\psi _{m}(x)=e^{i{\frac {2\pi }{N}}m}\psi _{m}(x)$

dato che $Na=L$ segue:

$\psi _{m}(x+a)=e^{i{\frac {2\pi }{L}}ma}\psi _{m}(x)$

definendo $k={\frac {2\pi }{L}}m$ si ottiene il risultato cercato:

$\psi _{k}(x+a)=e^{ika}\psi _{k}(x)$

si sono cambiate le etichette delle auto-funzioni. Facendo un ulteriore passaggio si ottiene:

$\psi _{k}(x+a)=e^{ika}\psi _{k}(x)=e^{ikx}e^{ik(a-x)}\psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)$

con $u_{k}(x)$ una funzione, in generale complessa, di periodo $a$.

Risulta così dimostrato il teorema di Bloch in una dimensione; dove $k$ è il numero quantico che identifica un particolare stato.