Utente:Andrea And/Sandbox/3

Descrizione	Figura	Momento di inerzia	Commento
Massa puntiforme m a distanza r dall'asse di rotazione.		$I=mr^{2}$	Un massa puntiforme non ha momento di inerzia intorno al proprio asse, ma usando il teorema degli assi paralleli si ottiene un momento di inerzia intorno a un asse di rotazione distante.
Due masse puntiformi, M e m, con massa ridotta $\mu$ e separate da una distanza, x.		$I={\frac {Mm}{M\!+\!m}}x^{2}=\mu x^{2}$	—
Asta di lunghezza L e massa m (asse di rotazione alla fine dell'asta)		$I_{\mathrm {estrem.} }={\frac {mL^{2}}{3}}\,\!$	Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido. Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione alla fine della piastra, e con h = L e w = 0.
Asta di lunghezza L e massa m		$I_{\mathrm {centrale} }={\frac {mL^{2}}{12}}\,\!$	Questa espressione assume che l'asta sia un filo infinitamente sottile ma rigido.Questo è anche un caso particolare della piastra rettangolare con asse di rotazione al centro della piastra, con w = L e h = 0.
Cerchio sottile di raggio r e massa m		$I_{z}=mr^{2}\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$	Questo è un caso particolare sia del toro per b = 0 (vedi più in basso), che del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r1=r2 e h = 0.
Disco solido e sottile, di raggio r e massa m		$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{4}}\,\!$	Questo è un caso particolare del cilindro solido, con h = 0.
Superficie cilindrica sottile con estremità aperte, di raggio r e massa m		$I=mr^{2}\,\!$	Questa espressione vale per un cilindro vuoto (come per esempio un tubo), con spessore delle pareti trascurabile (appunto approssimabile a una superficie cilindrica). E' un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte e r1=r2. Anche una massa puntiforme (m) alla fine di un'asta di lunghezza r ha lo stesso momento di inerzia, e il valore r è chiamato raggio di inerzia.
Cilindro solido di raggio r, altezza h e massa m		$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$   $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)$	Questo è un caso particolare del tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, con r1=0. (Nota: in questa immagine gli assi X-Y sono scambiati rispetto agli assi cartesiani standard)
Tubo cilindrico con pareti spesse ed estremità aperte, di raggio interno r1, raggio esterno r2, lunghezza h e massa m		$I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}\right)$   $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left[3\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)+h^{2}\right]$ o definendo lo spessore normalizzato tn = t/r e ponendo r = r2, allora $I_{z}=mr^{2}\left(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}{t_{n}}^{2}\right)$	con densità ρ e la stessa geometria $I_{z}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}\pi \rho h\left(3({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4})+h^{2}({r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2})\right)$
Sfera (cava) di raggio r e massa m		$I={\frac {2mr^{2}}{3}}\,\!$	Una sfera cava può essere considerata come costituita da due pile di cerchi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r).
Sfera (piena) di raggio r e massa m		$I={\frac {2mr^{2}}{5}}\,\!$	Una sfera può essere considerata come costituita da due pile di dischi solidi infinitamente sottili, uno sopra l'altro, con i raggi che aumentano da 0 a r (o un'unica pila, con il raggio dei cerchi crescente da -r a r). Un altro modo per ottenere la sfera piena è considerarla costituita da sfere cave infinitamente sottili, con raggio crescente da 0 a r.
Cono circolare retto con raggio r, altezza h e massa m		$I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}\,\!$   $I_{x}=I_{y}={\frac {3}{5}}m\left({\frac {r^{2}}{4}}+h^{2}\right)\,\!$	—
Toro con raggio del tubo (raggio del cerchio rosso) a, distanza dal centro del tubo al centro del toro (raggio del cerchio rosa) b e massa m.		Intorno al diametro: ${\frac {1}{8}}\left(4a^{2}+5b^{2}\right)m$   Intorno all'asse verticale: $\left(a^{2}+{\frac {3}{4}}b^{2}\right)m$	—
Ellissoide (solido) di semiassi a, b, e c, con asse di rotazione a e massa m		$I_{a}={\frac {m(b^{2}+c^{2})}{5}}\,\!$	—
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m (Asse di rotazione all'estremità della piastra)		$I_{e}={\frac {mh^{2}}{3}}+{\frac {mw^{2}}{12}}\,\!$	—
Piastra rettangolare sottile di altezza h, larghezza w e massa m		$I_{c}={\frac {m(h^{2}+w^{2})}{12}}\,\!$	—
Parallelepipedo solido di altezza h, larghezza w, profondità d e massa m		$I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)$ $I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+d^{2}\right)$ $I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)$	Per un cubo orientato allo stesso modo e con lati di lunghezza $s$: $I_{CM}={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$.
Parallelepipedo solido di altezza D, larghezza W, lunghezza L e massa m con asse lungo la diagonale più lunga.		$I={\frac {m\left(W^{2}D^{2}+L^{2}D^{2}+L^{2}W^{2}\right)}{6\left(L^{2}+W^{2}+D^{2}\right)}}$	Per un cubo di lato $s$, $I={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$.
Poligono piano con vertici ${\vec {P}}_{1}$, ${\vec {P}}_{2}$, ${\vec {P}}_{3}$, ..., ${\vec {P}}_{N}$ e massa $m$ uniformemente distribuita, che ruota intorno a un asse perpendicolare al piano e passante per l'origine.		$I={\frac {m}{6}}{\frac {\sum \limits _{n=1}^{N-1}\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\|(({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n+1})+({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n})+({\vec {P}}_{n}\cdot {\vec {P}}_{n}))}{\sum \limits _{n=1}^{N-1}\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\|}}$	Questa espressione assume che il poligono sia stellato. I vettori ${\vec {P}}_{1}$, ${\vec {P}}_{2}$, ${\vec {P}}_{3}$, ..., ${\vec {P}}_{N}$ sono i vettori posizione dei vertici.
Disco infinito con massa distribuita normalmente su due assi intorno all'asse di rotazione (per esempio: $\rho (x,y)={\tfrac {m}{2\pi ab}}\,e^{-((x/a)^{2}+(y/b)^{2})/2}$ dove $\rho (x,y)$ è la densità della massa in funzione di x e y).		$I=m(a^{2}+b^{2})\,\!$	—

Vedi anche

• Momento di inerzia
• Teorema di Huygens-Steiner, o degli assi paralleli