Urto

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Effetti dell'anelasticità dell'urto avvenuto tra le navi HMS Hawke e RMS Olympic nel 1911

L'urto è il termine fisico con il quale si identifica la collisione di due corpi che urtano.

Un'interpretazione più corretta viene fornita dalla meccanica del continuo: i corpi sono dotati di elasticità e l'intervallo di tempo durante il quale tali oggetti sono a contatto si compone di un periodo di compressione, nel quale si compie una deformazione spesso impercettibile, e di un periodo di ritorno elastico durante il quale la forma torna allo stato iniziale.

Viene inizialmente presa in considerazione la classe degli urti normali a due corpi, cioè quelli in cui la direzione del moto avviene lungo la normale comune per il punto di contatto sia prima che dopo l'urto in quanto moto unidimensionale, e successivamente si può estendere lo studio agli urti obliqui a n>2 corpi in d>1 dimensioni.

Regola di Newton[modifica | modifica sorgente]

Per un urto normale la velocità relativa dei corpi dopo l'urto è proporzionale a quella precedente l'urto attraverso un coefficiente di ritorno legato alle elasticità dei due corpi[1]:

v_{1f} - v_{2f} = - \varepsilon (v_{1i} - v_{2i}),
0 \leq \varepsilon \leq 1

Se \varepsilon = 0 l'urto è detto totalmente anelastico; se \varepsilon = 1 l'urto è detto elastico;

Conservazione della quantità di moto[modifica | modifica sorgente]

L'applicazione del principio di conservazione:

\frac {d}{dt} P = 0;

dove:

al caso di un urto tra due corpi a coefficiente di ritorno qualsiasi si ha:

m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = m_1v_{1f} + m_2v_{2f} \;

dove:

  • m1 e m2 sono le masse dei corpi 1 e 2;
  • v1i e v2i sono le velocità dei corpi prima dell'urto;
  • v1f e v2f sono le velocità dei corpi dopo l'urto.

La quantità di moto totale dopo l'urto è data dalla quantità di moto iniziale più l'impulso totale. Perciò le forze sono uguali e contrarie per i due corpi, e la loro somma vettoriale è nulla.

Equazioni delle velocità[modifica | modifica sorgente]

Dalle due equazioni precedenti si ricava che:

v_{1f} =\frac{(m_1 - \varepsilon m_2)v_{1i} + m_2 (1+\varepsilon)v_{2i}}{m_1+m_2}\;
v_{2f} =\frac{(m_2 - \varepsilon m_1)v_{2i} + m_1 (1+\varepsilon)v_{1i}}{m_1+m_2}\;

Che applicata al caso di urto totalmente anelastico si traduce in:Inelastischer stoß.gif

v_{1f} =\frac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1+m_2}\;
v_{2f} =\frac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1+m_2}\;

e quindi, :v_{1f} = v_{2f}\; in particolare se :v_{1i} = - v_{2i}, allora: v_{1f} = v_{2f} = 0

Applicata invece al caso di urto elastico si traduce in:

v_{1f} =\frac{(m_1 - m_2)v_{1i} + 2 m_2 v_{2i}}{m_1+m_2}\; Elastischer stoß3.gif
v_{2f} =\frac{(m_2 - m_1)v_{2i} + 2 m_1 v_{1i}}{m_1+m_2}\;

se poi  :v_{1i} = - v_{2i} \and m_{1} = m_{2}, allora: v_{1f} = - v_{2f} = v_{2i}

Si capisce perciò meglio come ε sia un fattore legato all'elasticità dell'urto.

Equazione dell'impulso[modifica | modifica sorgente]

Dalle equazioni delle velocità:

J_2 = m_1 v_{1f} - m_1 v_{1i} = (1 + \varepsilon) (v_1 - v_2) \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} = (1 + \varepsilon) a_1 t \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2};;

dove:

  • a_1 è l'accelerazione impulsiva che riceve l'altro corpo (media, supposta costante durante l'urto);
  • t rappresenta la durata dell'urto;

Si può verificare facilmente infatti che :J_1 = m_1 v_{1f} - m_1 v_{1i} = (1 + \varepsilon) (v_2 - v_1) \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} = -J_2\;; il principio di conservazione della quantità di moto che abbiamo imposto precedentemente.

Forza impulsiva[modifica | modifica sorgente]

Se si considera un sistema di bersaglio 2 molto più grande del proiettile 1,

dJ = (1 + \varepsilon) dv \frac{m_1 m_2}{m_1} = (1 + \varepsilon) m_2 dv;

ma allora:

F = \frac{dJ}{dt} = (1 + \varepsilon) m_2 \frac{dv}{dt}= (1 + \varepsilon) m_2 a_{21};

dove a_{21} è l'accelerazione relativa: a parità di questa, la forza impulsiva è perciò massima e doppia per un urto elastico rispetto ad un urto perfettamente anelastico.

Energia cinetica[modifica | modifica sorgente]

Affinché l'energia cinetica totale dei corpi rimanga invariata (e quindi le velocità dei due corpi dopo l'urto abbiano o direzione o verso o intensità diverse tra loro), si deve avere un urto elastico, e viceversa, come dimostra questa catena di doppie implicazioni:

T_f =\frac{m_1v_{1f}^2}{2} + \frac{m_2v_{2f}^2}{2} = \frac{1}{2}{m_1}(\frac{(m_1 - m_2)v_{1i} + 2 m_2 v_{2i}}{m_1+m_2})^2 + \frac{1}{2}{m_2}(\frac{(m_2 - m_1)v_{2i} + 2 m_1 v_{1i}}{m_1+m_2})^2=
=\frac{m_1v_{1i}^2}{2} + \frac{m_2v_{2i}^2}{2} = T_i\;

Se l'energia cinetica dei corpi è stata parzialmente dissipata nell'urto, allora si parla genericamente di urto anelastico. In quest'ultimo caso, si può dimostrare analogamente che l'energia cinetica dissipata è la massima possibile (dovendo rispettare la conservazione della quantità di moto totale) nel caso di urto totalmente anelastico, poiché i due corpi procedono alla stessa velocità dopo l'urto. Secondo il primo principio della termodinamica, la parte di energia cinetica dissipata viene convertita in energia interna dei corpi coinvolti nell'urto, cioè in generale in parte in calore e in parte in lavoro termodinamico dei corpi stessi.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Murray Spiegel, Meccanica razionale, ETAS 1974

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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