Unità di misura di Planck

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Nella fisica delle particelle e nella cosmologia fisica, le unità di Planck sono un insieme di unità di misura definite esclusivamente in termini di cinque costanti fisiche universali, in modo tale che queste cinque costanti fisiche assumano il valore numerico di 1 quando espresse in termini di queste unità.

Originariamente proposte nel 1899 dal fisico tedesco Max Planck, queste unità sono anche conosciute come unità naturali perché l'origine della loro definizione deriva solo da proprietà della natura e non da alcun costrutto umano (ad esempio intensità luminosa (cd), flusso luminoso (lm), e dose equivalente (Sv) né qualsiasi qualità della terra o dell'universo (ad esempio gravità standard, atmosfera standard e costante di Hubble) né qualsiasi qualità di una data sostanza (ad esempio punto di fusione dell'acqua, densità dell'acqua e capacità termica specifica dell'acqua). Le unità Planck sono solo un sistema di più sistemi di unità naturali, ma le unità Planck non si basano sulle proprietà di alcun oggetto prototipo o particella (ad es. Carica elementare, massa di riposo dell'elettrone e massa di riposo del protone) (che sarebbe scelta arbitrariamente), ma piuttosto solo sulle proprietà dello spazio libero (ad esempio, La velocità di Planck è la velocità della luce, il momento angolare di Planck è la ridotta costante di Planck, la resistenza di Planck è l'impedenza di spazio libero, l'entropia di Planck è la costante di Boltzmann, tutti sono proprietà dello spazio libero). Le unità di Planck hanno significato per la fisica teorica poiché semplificano diverse espressioni algebriche ricorrenti della legge fisica mediante la non dimensionalizzazione. Sono rilevanti nella ricerca su teorie unificate come la gravità quantistica.

Il termine scala di Planck si riferisce alle magnitudini di spazio, tempo, energia e altre unità, al di sotto delle quali (o oltre le quali) le previsioni del Modello standard, la teoria dei campi quantistici e la relatività generale non sono più riconciliabili, e si prevedono effetti quantistici della gravità dominare. Questa regione può essere caratterizzata da energie intorno a 5,52×108 J o 1,96×109 J (chiamate appunto energia di Planck), intervalli di tempo intorno a 1,91×10−43 s o 5,39×10−44 s (tempo di Planck) e lunghezze intorno a 5,73×10−35 m 1,62×10−35 m (lunghezza di Planck). Su scala Planck, non ci si aspetta che i modelli attuali siano una guida utile al cosmo, e i fisici non hanno un modello scientifico per suggerire come si comporta l'universo fisico. L'esempio più noto è rappresentato dalle condizioni nei primi 10 −43 secondi del nostro universo dopo il Big Bang, circa 13,800 miliardi di anni fa. Nel nuovo 2019 CODATA da NIST si prevede di usare le unità di Planck come future unità di sostituzione dei prototipi attuali internazionali di riferimento.

Esistono due versioni delle unità di Planck, la versione di Lorentz – Heaviside (chiamata anche "razionalizzata") e la versione gaussiana (chiamata anche "non razionalizzata").

Le cinque costanti universali che le unità di Planck, per definizione, normalizzano a 1 sono:

Ciascuna di queste costanti può essere associata a una teoria o concetto fisico fondamentale:

c con relatività speciale,

G con relatività generale,

ħ con meccanica quantistica,

ε0 con elettromagnetismo,

kB con le nozione dell'entropia, cioè temperatura / energia (meccanica statistica e termodinamica).

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

A qualsiasi sistema di misura può essere assegnato un insieme reciprocamente indipendente di quantità di base e unità di base associate, da cui possono derivare tutte le altre quantità e unità. Nel Sistema internazionale di unità, ad esempio, le quantità di base SI includono la lunghezza con l'unità associata del misuratore. Nel sistema di unità Planck, è possibile selezionare un insieme simile di quantità di base e l'unità di base Planck di lunghezza è quindi nota semplicemente come lunghezza di Planck, l'unità di base del tempo è il tempo di Planck e così via. Queste unità sono derivate dalle costanti fisiche universali a cinque dimensioni della Tabella 1, in modo tale che queste costanti vengano eliminate dalle equazioni fondamentali fondamentali della legge fisica quando le quantità fisiche sono espresse in termini di unità di Planck. Ad esempio, la legge di gravitazione universale di Newton

può essere espressa come:

Entrambe le equazioni sono dimensionalmente coerenti e ugualmente valide in qualsiasi sistema di unità, ma la seconda equazione, con G mancante, riguarda solo le quantità senza dimensioni poiché qualsiasi rapporto tra due quantità con dimensioni simili è una quantità senza dimensioni. Se, secondo una convenzione abbreviata, si comprende che tutte le quantità fisiche sono espresse in termini di unità di Planck, i rapporti di cui sopra possono essere espressi semplicemente con i simboli della quantità fisica, senza essere esplicitamente ridimensionati dalla loro unità corrispondente:

Quest'ultima equazione (senza G) è valida solo se F, m 1, m 2 e r sono i valori numerici senza dimensioni di queste quantità misurate in termini di unità di Planck. Questo è il motivo per cui le unità Planck o qualsiasi altro uso di unità naturali devono essere impiegati con cura. Riferendosi a G = c = 1, Paul S. Wesson scrisse che "Matematicamente è un trucco accettabile che salva il lavoro. Fisicamente rappresenta una perdita di informazioni e può creare confusione."[1]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In fisica, le unità di misura di Planck sono un particolare sistema di unità naturali, in cui cinque costanti hanno valore unitario:

Tabella 1: Unità universali dal 2018 CODATA normalizzate alle unità di Planck
Costante Simbolo Dimensioni fisiche Valore Teorie associate
Velocità della luce nel vuoto L T−1 299 792 458 m/s[2](esatta per definizione) Elettromagnetismo

Relatività ristretta

Costante gravitazionale M−1L3T−2 6,674 30 (15) × 10−11 m3kg−1s−2[3] Relatività Generale

Gravità Newtoniana

"Costante di Planck ridotta" o costante di Dirac dove è la costante di Planck M L2T−1 1,054 571 817... × 10−34 Js[4](esatta per definizione da h = 6,626 070 15 × 10−34 J⋅s) Meccanica quantistica
Costante della forza di Coulomb dove è la costante dielettrica nel vuoto M L3 T−2 Q-2 8,987 551 792 3 (14) × 109 kgm3s−4A−2[5] Elettrostatica
Costante di Boltzmann M L2T−2Θ−1 1,380 649 × 10−23 JK−1[6](esatta per definizione) Termodinamica

Meccanica statistica

Località di Panck, seconda radiazione costante L Θ 0,01438777 mK Termodinamica

Meccanica statistica

Elettromagnetismo

Costante di Stefan-Boltzmann M T−3Θ−4 5,670 374 419... × 10−8 W/m2K−4 Termodinamica

Elettromagnetismo

Carica elementare Q 1.602 176 634 × 10−19 C

(esatta per definizione)

Elettrostatica
Costante di struttura fine o costante di Sommerfeld Numero adimesionale 0,007 297 352 569 3 (11)

1 / 137,035 999 084 (21)

Elettromagnetismo

Teoria Atomica

Nota: L = lunghezza, M = massa, T = tempo, Q = carica, Θ = temperatura.

Le unità naturali possono aiutare i fisici a risolvere alcune domande. Frank Wilczek probabilmente ha fatto l'osservazione più acuta:

«…Vediamo che la domanda [posta] non è "Perché la gravità è così debole?" ma piuttosto "Perché la massa del protone è così piccola?". Per le unità di Planck, l'intensità della gravità è semplicemente quella che è, una quantità primaria, mentre la massa del protone è un numero molto piccolo…[7]»

(Physics Today, giugno 2001)

L'intensità della gravità è semplicemente quella che è così come l'intensità della forza elettromagnetica è semplicemente quella che è. La forza elettromagnetica opera in base ad una quantità fisica, la carica elettrica, diversa dalla gravità, la massa, così che non sia possibile una diretta comparazione con la stessa. Notare che la gravità è una forza estremamente debole ed è, dal punto di vista delle unità naturali, come paragonare mele ad arance. Vero è che la forza elettrostatica repulsiva tra due protoni (soli nello spazio) bissa la forza gravitazionale tra gli stessi, ma ciò è dovuto al fatto che la carica dei protoni è circa l'unità naturale della carica, ma la massa del protone è ben distante dall'unità naturale della massa.

Le unità di Planck hanno il vantaggio di semplificare molte equazioni fisiche, rimuovendo i fattori di conversione. Per questo motivo, sono molto usate nella ricerca nella teoria dei quanti.

Risolvendo le cinque equazioni precedenti per le cinque incognite si ottiene un insieme unico di valori per le cinque unità Planck di base:

Unità di Planck: unità fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

Tabella 2: Unità di Planck dal 2018 CODATA
Dimensione Formula versione di Lorentz–Heaviside[8][9] Versione Gaussiana[10][11] Valore di Lorentz-Heaviside[12][13] Valore nel Sistema Internazionale Gaussiana[14]
Lunghezza di Planck Lunghezza (L) 5,729 475 × 10−35 m 1,616255(18)×10−35 m
Massa di Planck[15] Massa (M) 6,139 608 × 10−9 kg 2,176434(24)×10−8 kg
Tempo di Planck Tempo (T) 1,911 147 × 10−43 s 5,391247(60)×10−44 s
Carica di Planck Carica elettrica (Q) 5,290 818 × 10−19 C 1,875545956(41)×10−18 C
Temperatura di Planck Temperatura (Θ) 3,996 674 × 1031 K 1,416784(16)×1032 K

Nota: L = lunghezza, M = massa, T = tempo, Q = carica, Θ = temperatura.

Le tre costanti della fisica sono espresse in questo modo semplicemente, mediante l'uso delle unità fondamentali di Planck:

Nel 1899 Max Planck propose di partire dalle costanti fondamentali (per esempio nella teoria della gravitazione c'è la costante di Newton , nell'elettrostatica la costante di Coulomb , nell'elettromagnetismo e nella relatività la velocità della luce , nella termodinamica la costante di Boltzmann e nella meccanica quantistica la costante di Planck ridotta ) per definire le unità di misura di lunghezza, tempo, massa, carica e temperatura, invece di fare il contrario[16]. E ottenne un sistema di misura alternativo basato su «unità di Planck» in cui la costante di Newton è l'attrazione gravitazionale esercitata da due masse di Planck poste alla distanza di Planck, la costante di Coulomb è l'attrazione elettrica esercitata da due cariche di Planck poste alla distanza di Planck, la velocità della luce è la velocità di percorrenza della lunghezza di Planck nel tempo di Planck, la costante di Boltzmann è l'energia termica della temperatura di Planck e la costante di Planck è l'energia della frequenza pari all'inverso del tempo di Planck. Planck fu molto soddisfatto della scoperta delle sue unità di misura perché «mantengono il loro significato in tutti i tempi e luoghi, e risultano sempre uguali anche se misurate dalle intelligenze più disparate», mentre le costanti universali assumono valori diversi se si utilizza come sistema di misura, per esempio, il Sistema Internazionale, abbreviato in SI, oppure il Sistema cgs. Le unità di Planck costituiscono però i limiti delle teorie attuali, nel senso che al di sotto delle lunghezze, dei tempi e delle cariche di Planck, o al di sopra delle masse e delle temperature di Planck, la fisica come la conosciamo perde di senso. Quanto ai loro valori, il tempo di Planck è circa secondi, la lunghezza di Planck, è volte più piccola di un protone, la massa di Planck è pari a protoni, e farebbe collassare un quanto in un buco nero, la carica di Planck è volte maggiore di quella di un elettrone o un protone, la temperatura di Planck, infine, è di circa gradi, e un corpo che la raggiungesse emetterebbe radiazioni della lunghezza di Planck.[17]

La tabella definisce chiaramente le unità di Planck in termini di costanti fondamentali. Tuttavia, rispetto ad altre unità di misura come SI, i valori delle unità Planck, diversi dalla carica Planck, sono conosciuti solo approssimativamente. Ciò è dovuto all'incertezza nel valore della costante gravitazionale G misurata rispetto alle definizioni dell'unità SI. Oggi il valore della velocità della luce c nelle unità SI non è soggetto a errori di misurazione, poiché l'unità base SI di lunghezza, il misuratore, è ora definita come la lunghezza del percorso percorso dalla luce nel vuoto durante un intervallo di tempo di 1/299 792 458 di secondo. Quindi il valore di c è ora esatto per definizione e non contribuisce all'incertezza degli equivalenti SI delle unità Planck. Lo stesso vale per il valore della permittività del vuoto ε0, a causa della definizione di ampere che imposta la permeabilità del vuoto μ0 a × 10−7 H/m il fatto che μ0 ε0 = 1/c2 . Il valore numerico della costante ridotta di Planck ħ è stato determinato sperimentalmente a 12 parti per miliardo, mentre quello di G è stato determinato sperimentalmente a non migliore di 1 parte su 21300 (o 47000 parti per miliardo).[18] G appare nella definizione di quasi tutte le unità Planck nelle tabelle 2 e 3, ma non tutte. Quindi l'incertezza nei valori degli equivalenti Tabella 2 e 3 SI delle unità Planck deriva quasi interamente dall'incertezza nel valore di G. (La propagazione dell'errore in G è una funzione dell'esponente di G nell'espressione algebrica per un'unità. Poiché tale esponente è ± 1/2 per ogni unità base diversa da Carica di Planck, l'incertezza relativa di ciascuna unità di base è circa la metà di quella di G. Questo è davvero il caso; secondo CODATA, i valori sperimentali degli equivalenti SI delle unità Planck di base sono noti a circa 1 parte su 43500, o 23000 parti per miliardo). Dopo il 20 maggio 2019, h (e quindi ) è esatto come valore di riferimento, kB è anche esso esatta, ma poiché G non è ancora esatta, anche i valori di lP, mP, tP e ΘP non sono esatti. Inoltre, μ0 (e quindi ) non è più esatto di precisione (solo la carica e è esatta), quindi anche q P non è esatto come precisione numerica.

Unità di Planck: unità derivate[modifica | modifica wikitesto]

In qualsiasi sistema di misura, unità per molte quantità fisiche possono essere derivate da unità di base. La tabella 3 offre un campione di unità Planck derivate, alcune delle quali in realtà sono usate raramente. Come per le unità di base, il loro uso è per lo più limitato alla fisica teorica perché la maggior parte di essi è troppo grande o troppo piccola per un uso empirico o pratico e vi sono grandi incertezze nei loro valori.

Tabella 3: Unità derivate di Planck approssimate
Dimensione Formula Espressione Valore, nel SI approssimata
Versione di Lorentz–Heaviside[19] Versione Gaussiana[20][21][22][23] Valore, nel SI

Lorentz-Heaviside

Valore nel SI

Gaussiana

Proprietà meccanico-fisiche
Area di Planck Area (L2) 3,282 688 × 10−69 m2 2,612 280 × 10−70 m2
Volume di Planck Volume (L3) 1,880 808 × 10−103 m3 4,222 111 × 10−105 m3
Velocità di Planck Velocità (LT−1) 299 792 458 m/s
Planck Angolare Radiante (LL−1) 1 rad
Planck steradiante Angolo solido (L2L−2) 1 sr
Quantità di moto di Planck Quantità di moto (LMT−1) 1,840 608 N⋅s 6,524 785 kgm/s
Energia di Planck Energia (ML2T-2) 5,518 004 × 108 J

153,278 kW⋅h

3,444 067 × 1018 GeV

1,956 081 × 109 J

543,356 kW⋅h

1,220 890(14) × 1028 eV

Forza di Planck Forza (MLT-2) 9,630 908 × 1042 N 1,210 256 × 1044 N
Potenza di Planck Potenza (ML2T-3) 2,887 274 × 1051 W 3,628 255 × 1052 W
Intensità radiante di Planck Intensità angolare (L2MT−3) 2,887 274 × 1051 W/sr 3,628 255 × 1052 W/sr
Intensità di Planck Intensità (MT−3) 8,795 455 × 10119 W/m2 1,388 923 × 10122 W/m2
Densità di Planck Densità (ML-3) 3,264 346 × 1094 kg/m3 5,154 849 × 1096 kg/m3
Densità energetica di Planck Densità di energia (L−1MT−2) 2,933 848 × 10111 J/m3 4,632 947 × 10113 J/m3
Frequenza angolare di Planck Frequenza (T-1) 5,232 458 × 1042 radHz 1,854 858 × 1043 rad/s
Accelerazione angolare di Planck Accelerazione angolare (T−2) 2,737 862 × 1085 rad/s2 3,440 498 × 1086 rad/s2
Accelerazione di Planck Accelerazione (LT−2) 1,568 652 × 1051 m/s2 5,560 726 × 1051 m/s2
Momento inerziale di Planck Momento di inerzia (L2M) 2,015 442 × 10−77 kgm2 5,685 457 × 10−78 kgm2
Momento angolare di Planck Momento angolare(L2MT−1) 1,054 571 817... × 10−34 Js
Coppia di Planck Torque (L2MT−2) 5,518 004 × 108 Nm 1,956 081 × 109 Nm
Pressione di Planck Pressione (ML-1T-2) 2,933 848 × 10111 Pa 4,632 947 × 10113 Pa
Tensione superficiale di Planck Tensione superficiale (MT−2) 1,680 941 × 1077 N/m 7,488 024 × 1078 N/m
Forza superficiale universale di Planck Forza superficiale universale (L−1MT−2) 2,933 848 × 10111 Pa 4,632 947 × 10113 Pa
Durezza di indentazione di Planck Durezza di indentazione (L−1MT−2) 2,933 848 × 10111 Pa 4,632 947 × 10113 Pa
Durezza assoluta di Planck Duerezza Assoluta

(L−1MT−2)

1,018248 × 10−42 kg⋅f 8,102 958 × 10−44 kg⋅f
Flusso di massa di Planck Rapporto di flusso di massa (MT−1) 3,212 525 × 1034 kg/s 4,036 978 × 1035 kg/s
Viscosità di Planck viscosità dinamica (L−1MT−1) 5,607 015 × 1068 Pas 2,497 736 × 1070 Pas
Viscosità cinematica di Planck viscosità cinematica (L2T−1) 1,717 653 × 10−27 m2/s 4,845 411 × 10−27 m2/s
Portata volumetrico di Planck Rapporto di flusso volumetrico (L3T−1) 9,841 252 × 10−61 m3/s 7,831 419 × 10−62 m3/s
Proprietà elettromagnetiche
Corrente di Planck Corrente elettrica (QT-1) 2,768 399 × 1024 A 3,478 873 × 1025 A
Forza magnetomotiva di Planck Corrente elettrica (QT-1) 2,768 399 × 1024 A 3,478 873 × 1025 A
Tensione di Planck Tensione (ML2T-2Q-1) 1,042 940 × 1027 V
Forza elettromotiva di Planck Tensione (ML2T-2Q-1) 1,042 940 × 1027 V
Resistenza di Planck Resistenza elettrica (ML2T-1Q-2) 376,730 Ω 29,979 245 8 Ω
Conduttanza di Planck Conduttanza Elettrica (L−2M−1TQ2) 0,002 654 S 0,033 356 4095... S
Capacità Elettrica di Planck Capacità Elettrica (L−2M−1T2Q2) 5,072 985 × 10−46 F 1,798 326 × 10−45 F
Permittività di Planck

(Costante elettrica)

Permettività elettrica (L−3M−1T2Q2) 8,854 187 8128(13) × 10−12 F/m 1,112 650 055... × 10−10 F/m
Permeabilità di Planck

(Costante magnetica)

Permeabilità magnetica (LMQ−2) 1,256 637 062 12(19) × 10−6 H/m 1,000 000 000 55(15) × 10−7 H/m
Induttanza Elettrica di Planck Induttanza (L2MQ−2) 7,199 871 × 10−41 H 1,616 255(18) × 10−42 H
Resistivittà elettrica di Planck Resistività Elettrica (L3MT−1Q−2) 2,158 467 × 10−32 Ω⋅m 4,845 411 × 10−34 Ω⋅m
Conduttività Elettrica di Planck Conduttività Elettrica (L−3M−1TQ2) 4,632 918 × 1031 S/m 2,063 809 × 1033 S/m
Densità di carica di Planck Densità di carica (L−3Q) 2,813 056 × 1086 C/m3 4,442 200 × 1086 C/m3
Forza del campo elettrico di Planck Campo Elettrico

(LMT−2Q−1)

1,820 306 × 1061 V/m 6,452 817 × 1061 V/m
Forza del campo magnetico di Planck Campo magnetico

(L−1T−1Q)

4,831 855 × 1058 A/m 2,152 428 × 1060 A/m
Induzione elettrica di Planck Corrente di spostamento (L−2T−1Q) 1,611 733 × 1050 C/m2 7,179 727 × 1051 C/m2
Induzione magnetico di Planck Campo magnetico (MT−1Q−1) 6,071 888 × 1052 T 2,152 428 × 1053 T
Flusso elettrico di Planck Flusso magnetico (L2MT−1Q−1) 5,975 498 × 10−8 Vm 1,685 657 × 10−8 Vm
Flusso Magnetico di Planck Flusso magnetico (L2MT−1Q−1) 1,993 211 × 10−16 Wb 5,622 746 × 10−17 Wb
Potenziale elettrico di Planck Tensione (ML2T-2Q-1) 1,042 940 × 1027 V
Potenziale magnetico Planck Corrente magnetica (LMT−1Q−1) 3,478 873 × 1018 T·m
Densità di corrente di Planck Densità di corrente elettrica (L−2T−1Q) 8,433 329 × 1092 A/m2 1,331 738 × 1095 A/m2
Momento elettrico di Planck Dipolo Elettrico

(LQ)

3,031 361 × 10−53 Cm
Momento magnetico di Planck Dipolo magnetico

(L2T−1Q)

9,087 791 × 10−45 J/T
Monopolo magnetico di Planck Carica magnetica (LT−1Q) 1,586 147 × 10−10 N/T 5,622 746 × 10−10 Am
Corrente magnetica di Planck Corrente magnetica (LT−2Q) 8,299 451 × 1032 Vm/H 1,042 940 × 1034 W/Tm
Densità di corrente magnetica di Planck Corrente magnetica (L−1T−2Q) 2,528 248 × 10101 V/m⋅H 3,992 450 × 10103 W/Wbm
Carica specifica di Planck carica specifica (M−1Q) 8,617 517 × 10–11 Hz/T
Monopolo specifica di Planck carica magnetica specifica (LT−1M−1Q) 0,0258 347 m/ s2T 0,0258 347 m/ s2T
Proprietà termodinamiche
Temperatura di Planck in 2 π Temperatura (Θ) 2,511 185 × 1032 K 8,901 917 × 1032 K
Entropia di Planck Entropia (L2MT−2Θ−1) 1,380 649 × 10−23 J/K
Entropia di Planck in 2 π Entropia (L2MT−2Θ−1) 2,197 371 × 10−24 J/K
Coefficiente di dilatazione termica di Planck Coefficiente di dilatazione termica−1) 2,502 080 × 10−33 K−1 7,058 238 × 10−33 K−1
Capacità termica di Planck Capacità termica - Entropia (L2MT−2Θ−1) 1,380 649 × 10−23 J/K
Calore specifico di Planck Calore specifico (L2T−2Θ−1) 2,248 758 × 10−15 J/kgK 6,343 628 × 10−16 J/kgK
Calore volumetrico di Planck Calore volumetrico (L−1MT−2Θ−1) 7,340 723 × 1079 J/m3K 3,270 044 × 1081 J/m3K
Resistenza termica di Planck Resistenza termica (L−2M−1T3Θ) 1,384 238 × 10−20 K/W 3,904 864 × 10−21 K/W
Conduttanza termica di Planck Conduttanza termica (L2MT−3Θ−1) 7,224 190 × 1019 W/K 2,560 909 × 1020 W/K
Resistività termica di Planck Resistività termica

(L−1M−1T3Θ)

7,930958 × 10−55 mK/W 6,311256 × 10−56 mK/W
Conducibilità termica di Planck Conducibilità termica

(LMT−3Θ−1)

1,260 881 × 1054 W/mK 1,584 471 × 1055 W/mK
Isolatore termico di Planck Isolatore termico (M−1T3Θ) 4,544 023 × 10−89 m2K/W 1,020 060 × 10−90 m2K/W
Trasmittanza termica di Planck Trasmittanza termica (MT−3Θ−1) 2,200 693 × 1088 W/m2K 9,803 346 × 1089 W/m2K
Flusso termico di Planck Intensità (MT−3) 8,795 455 × 10119 W/m2 1,388 923 × 10122 W/m2
Località di Planck di Planck Seconda radiazione di costante (L Θ) 0.002 289 885 K m
Località di Planck con costante di struttura fine Seconda radiazione di costante (L Θ) 0.168 427 K m
Costante di Stefan-Boltzmann di Planck Costante di proporzionalità (M T−3Θ−4) 3.447 174 × 10−7 W/m−2 K-4
Proprietà radioattive
Attività specifica di Planck Attività specifica (T−1) 5,232 458 × 1042 Bq 1,854 858 × 1043 Bq
Esposizione radioattiva di Planck Radiazioni ionizzanti (M−1Q) 8,617 518 × 10−11 C/kg
Potenziale gravitazionale di Planck calorie specifiche (L2T−2) 89 875 517 873 681 764 J/kg
Dose assorbita di Planck Dose assorbita (L2T−2) 8,987 552 × 1016 Gy
Velocità di dose assorbita di Planck Velocità di dose assorbita (L2T−3) 4,702 700 × 1059 Gy/s 1,667 064 × 1060 Gy/s
Proprietà dei buchi neri
Massa lineare di Planck Massa lineare

(ML−1)

1,071 583 × 1026 kg/m 1,346 591 × 1027 kg/m
Impedenza maccanica di Planck Impedenza meccanica

(ML−1)

3,212 525 × 1034 kg/s 4,036 978 × 1035 kg/s
Gravità di superficie Gravità di superficie

(M−1LT−2)

9,630 908 × 1042 kgm/s2 1,210 256 × 1044 kgm/s2
Costante di accoppiamento di Planck Teoria dell'Informazione

(adimensionale)

1 1
Limite di Benkenstein di Planck[24][25][26][25][27] Teoria dell'Informazione

(adimensionale)

9,064 720... bits

≈ 23,18

≈ 1,133 bytes

rapporto massa-massa di Planck Teoria dell'Informazione

(adimensionale)

1
Unità di Planck Unita di Planck

(adimensionale)

1 1

Nota: è la costante di Coulomb, è la permeabilità nel vuoto, è l'impedenza di spazio libero, è l'ammissione di spazio libero, è la costante di gas.

Nota: è la costante di Avogadro, anch'essa normalizzata a 1 in (entrambe le versioni di) unità Planck

Discussione[modifica | modifica wikitesto]

Alle "scale di Planck" di lunghezza, tempo, densità o temperatura, si devono considerare sia gli effetti della meccanica quantistica che della relatività generale, ma ciò richiede una teoria della gravità quantistica di cui ancora non conosciamo la forma.

La maggior parte delle unità sono o troppo piccole o troppo grandi per l'utilizzo pratico. Inoltre soffrono di incertezze nella misura di alcune delle costanti su cui sono basate, in particolare la costante gravitazionale (che ha un'incertezza di 1 su 44000 parti).

La carica di Planck non fu originariamente definita da Planck. È una definizione di unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck, ed è utilizzata in alcune pubblicazioni[28][29][30]. È interessante notare che la carica elementare, misurata in termini della carica di Planck, risulta essere

dove è la costante di struttura fine[31]:

Si può ritenere che la costante di struttura fine, adimensionale, possieda il proprio valore per via della quantità di carica, misurata in unità naturali (carica di Planck), che gli elettroni, i protoni e altre particelle cariche hanno in natura. Poiché la forza elettromagnetica tra due particelle è proporzionale alle cariche di ciascuna particella (che è proporzionale a ), la forza elettromagnetica relativamente alle altre forze è proporzionale a .

L'impedenza di Planck risulta essere l'impedenza caratteristica del vuoto, , divisa per 4π. Ciò avviene in quanto la costante della forza di Coulomb, , è normalizzata a 1 nella legge di Coulomb, così come viene fatto nelle unità cgs, invece che porre a 1 la permittività del vuoto . Tali considerazioni, insieme al fatto che la costante gravitazionale è normalizzata a 1 (invece che 4πG o 8πG o 16πG), inducono a ritenerla una definizione arbitraria e forse non ottimale nella prospettiva di definire le unità più naturali della fisica come unità di Planck.

«Una convenzione sempre più comune nella letteratura di fisica delle particelle e cosmologia è quella di usare 'unità di Planck ridotte' in cui (così chiamato perché la massa di Planck è ridotta di in queste unità). Queste unità hanno il vantaggio di rimuovere un fattore dalle equazione di campo di Einstein, azione di Einstein-Hilbert, Equazioni di Friedmann e le Equazione di Poisson per la gravitazione, a scapito di introdurne una nella legge di gravitazione universale. Un'altra convenzione che si vede occasionalmente è di impostare , che imposta il coefficiente di R nell'azione di Einstein-Hilbert su unità. Tuttavia, un'altra convenzione imposta in modo che le costanti dimensionali nelle [controparti Gravitoelettromagnetismo | gravitoelettromagnetico]] (GEM) di equazioni di Maxwell vengano eliminate. Le equazioni GEM hanno la stessa forma delle equazioni di Maxwell (e dell'equazione della forza di Lorentz) dell'interazione elettromagnetica con massa (o densità di massa) che sostituisce carica (o densità di carica) e sostituendo la permittività e sono applicabili in campi gravitazionali deboli o spazio-tempo ragionevolmente piatto. Come le radiazioni elettromagnetiche, le radiazioni gravitazionali si propagano alla velocità di e hanno impedenza caratteristica di spazio libero che diventa unità se le unità sono definite giudiziosamente in modo che e

La carica, come le altre unità Planck, non era originariamente definita da Planck. È un'unità di carico che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck e viene utilizzata in alcune pubblicazioni.[32][33] La carica elementare , misurato in termini di addebito Planck, è

(Versione Lorentz – Heaviside)

(Versione gaussiana)

dove è la costante di struttura fine

La costante della struttura fine è anche chiamata la costante di accoppiamento elettromagnetico, confrontando così con la costante di accoppiamento gravitazionale . La massa di riposo dell'elettrone misurato in termini di massa di Planck, è

(Versione Lorentz – Heaviside)

(Versione gaussiana)

dove è la costante di accoppiamento gravitazionale

(Versione Lorentz – Heaviside)

(Versione gaussiana)

Alcune unità Planck sono adatte per misurare quantità familiari dall'esperienza quotidiana. Per esempio:

  • 1 La massa di Planck è di circa 6,14 μg (versione di Lorentz – Heaviside) o 21,8 μg (versione di Gauss);
  • 1 Il momento di Planck è di circa 1,84 N⋅s (versione di Lorentz-Heaviside) o 6,52 N⋅s (versione di Gauss);
  • 1 L'energia di Planck è di circa 153 kW⋅h (versione Lorentz – Heaviside) o 543 kW⋅h (versione gaussiana);
  • 1 angolo di Planck è 1 radiante (entrambe le versioni);
  • 1 angolo solido di Planck è 1 steradiano (entrambe le versioni);
  • 1 La carica di Planck è di circa 3,3 cariche elementari (versione Lorentz – Heaviside) o 11,7 cariche elementari (versione gaussiana);
  • 1 L'impedenza di Planck è di circa 377 ohm (versione Lorentz-Heaviside) o 30 ohm (versione gaussiana);
  • 1 La conduttanza Planck è di circa 2,65 mS (versione Lorentz – Heaviside) o 33,4 mS (versione gaussiana);
  • 1 La permeabilità di Planck è di circa 1,26 μH / m (versione Lorentz – Heaviside) o 0,1 μH / m (versione gaussiana);
  • 1 Il flusso elettrico di Planck è di circa 59,8 mV⋅μm (versione Lorentz – Heaviside) o 16,9 mV⋅μm (versione gaussiana).

Tuttavia, la maggior parte delle unità Planck ha molti ordini di grandezza troppo grandi o troppo piccoli per essere di uso pratico, quindi le unità Planck come sistema sono realmente rilevanti solo per la fisica teorica. In effetti, 1 unità Planck è spesso il valore più grande o più piccolo di una quantità fisica che ha senso secondo la nostra attuale comprensione. Per esempio:

Nelle unità di Planck abbiamo:

(Versione Lorentz – Heaviside)
(Versione gaussiana)
(Versione Lorentz – Heaviside)
(Versione gaussiana)

dove

è la costante di struttura fine
è la carica elementare
è la costante di accoppiamento gravitazionale
è la massa di riposo dell'elettrone
Da qui la carica specifica dell'elettrone ( ) è Carica specifica di Planck, in entrambe le versioni delle unità Planck.

Significato[modifica | modifica wikitesto]

Le unità Planck sono prive di arbitrarietà antropocentrica . Alcuni fisici sostengono che la comunicazione con l'intelligenza extraterrestre dovrebbe impiegare un tale sistema di unità per essere compresa.[35] A differenza del metro e del secondo, che esistono come unità di base nel sistema SI per ragioni storiche, la lunghezza di Planck e il tempo di Planck sono concettualmente collegati a un livello fisico fondamentale.

Mentre è vero che la forza repulsiva elettrostatica tra due protoni (solo nello spazio libero) supera di gran lunga la forza attrattiva gravitazionale tra gli stessi due protoni, non si tratta delle forze relative delle due forze fondamentali. Dal punto di vista delle unità Planck, si tratta di confrontare le mele con le arance, poiché la massa e la carica elettrica sono quantità incommensurabili . Piuttosto, la disparità di grandezza della forza è una manifestazione del fatto che la carica sui protoni è approssimativamente la carica unitaria ma la massa dei protoni è molto inferiore alla massa unitaria.

Cosmologia[modifica | modifica wikitesto]

Nella cosmologia del Big Bang, l’epoca di Planck o era di Planck è il primo stadio del Big Bang, prima che il tempo trascorso fosse uguale al tempo di Planck, t P, o circa 10 −43 secondi.[36] Al momento non esiste una teoria fisica disponibile per descrivere tempi così brevi, e non è chiaro in che senso il concetto di tempo sia significativo per valori inferiori al tempo di Planck. Si presume generalmente che gli effetti quantistici della gravità dominino le interazioni fisiche a questa scala temporale. Su questa scala, si presume che la forza unificata del Modello standard sia unificata con la gravitazione. Incommensurabilmente caldo e denso, lo stato dell'epoca di Planck fu seguito dall'epoca della grande unificazione, in cui la gravitazione è separata dalla forza unificata del Modello Standard, a sua volta seguita dall'epoca inflazionistica, che si concluse dopo circa 10 −32 secondi (o circa 10 10   t P ).[37]

Rispetto all'epoca di Planck, l'universo osservabile oggi sembra estremo quando espresso in unità di Planck, come in questo insieme di approssimazioni:[38][39]

Tabella 4: L'universo osservabile di oggi in unità di Planck
Proprietà dell'universo

osservabile

Espressione Hubble in unità di Planck unità di Hubble

(universo osservabile)

Eta di Hubble 8,080 × 1060 tP 4,356 129 × 1017s

≈ 13,799 × 109 anni

Diametro di Hubble 5,076 81 × 1061 lP 8,205 43 × 1026 m ≈ 8,7 × 1023 km

≈ 9,2 × 1010 anni luce

Massa di Hubble 8,080 × 1060 mP6,769 × 1061 mP (con 8π/3) ≈ 1,758 6 × 1053 kg ≈ 1,76 × 1050 tonnellate

≈ 1,47 × 1054 kg (con 8π/3)

≈ 8,844 × 1022 masse solari (solo stelle)

≈ 2,945 × 1028 masse terrestre

≈ 1,051 × 1080 protoni (conosciuto come numero di Eddington)

Densità di Hubble 1.828 3 × 10−123 ρP

1,531 7 × 10−122 ρP

≈ 9,424 8 × 10−27 kg m−3

≈ 7,895 7 × 10−26 kg m−3 (senza 3/8π)

Pressione di Hubble

Energia del vuoto

1,531 7 × 10−122 pP ≈ 7,096 3 × 10−9 J m−3
Temperatura di Hubble 1,923 71 × 10−32 ΘP 2,72548 K ± 0,00057 K

≈ -270,43452 °C

≈ 160,23 GHz

≈ λ = 1,063 mm a 242 GHz

≈ 6,626 × 10−4 eV

≈ 0,25 eV/cm3

≈ 4,005 × 10−14 J/m3

Temperatura delle radiazioni cosmica di fondo

Carica di Hubble 8,080 × 1060 qP ≈ 1,515 4 × 1043 C
Accelerazione di Hubble 1,237 623 × 10−61 aP ≈ 6,882 084 × 10−10 m s−2 ≈ 7 × 10−11 g Terresti
Costante cosmologica, Λ 5,429 77 × 10−122 t−2P

2,883 89 × 10−122 l−2P (con 8π/3)

≈ 1,868 11 × 10−35 s−2

≈ 1,103 52 × 10−52 m−2

Costante di Hubble 1,237 623 × 10−61 tP-1 ≈ 2,295 616 × 10−18 s−1 ≈ 70,835 31 (km/s)/Mpc
Costante di accoppiamento di Hubble 6,528 65 × 10121

4,582 × 10123 (con 8π/3)

≈ 3,092 53 × 10106 Massa H02 = Massa di Hubble al quadrato

≈ 2,170 46 × 10108 Massa H02 (con 8π/3)

Entropia di Hubble 6,528 65 × 10121

1,632 × 10123 (1/4)

4,582 × 10123 (con 8π/3)

2,2534419 × 1098 J/K (con 1/4)9,013 768 × 1098 J/K

7,551 356 × 1099 J/K (con 8π/3)

Informazione teorica di Hubble

secondo il limite di Benkestein[40][41][42][43][44]

6,528645×10122 Ibits P Ibits ≈ 5,918 034 × 10122 bits

Ibytes ≈ 7,397 543 × 10121 bytes

≈ 2407,84 Ibits ≈ 2404,84 Ibytes

≈ 7,4 × 10109 TB (TeraBytes)

≈ 7,4 × 10112 GB (GigaBytes)

≈ 7,4 × 10115 MB (MegaBytes)

L'Informazione di Hubble che può avere l'universo osservabile di dati secondo Seth LIyod[45] e Jacob Benkeisten[46] sugli studi dell'entropia dei buchi neri. Questo enorme valore ci dice quanto dati possiamo archiviare teoricamente, circa 7,4 × 10109 TeraBytes, su una chiavetta USB che possa avere questa capacità. Ma per avere questa capacità teorica dovrebbe usare la stessa massa/energia dell'intero universo osservabile di oggi. Cioè l'analogia è che la massa di Hubble, quindi la massa del universo può avere massimo 7,4 × 10109 TeraBytes di dati sapendo che ogni unità di Planck al quadrato può avere 1,133 bytes di dati. Quindi la radice quadrata delle unità di Planck e circa 1,0645 . l'intera massa di Hubble a circa 8,08 × 1060 unità di Plack, per 1,0645 di singola unità di Planck porta a 7,4 × 10109 TeraBytes. in bits sarà la radice quadrata di 9,065 bits della costante di accoppiamento di Planck, ovvero unità di Planck al quadrato. Diventerà 3,011 di singola unità di Planck per l'intera massa di Hubble a circa 8,08 × 1060 unità di Plack uguale a 5,918 × 10122 bits. Questo calcolo deriva da Jacob Benkestein che usava non la massa di Planck ma area di Planck secondo la sua formula dell'entropia di un buco nero che è area di superficie divisa 4 area di Planck.

La ricorrenza di grandi numeri vicino o correlata a 10 60 nella tabella sopra è una coincidenza che incuriosisce alcuni teorici. È un esempio del tipo di coincidenza di grandi numeri che ha portato teorici come Eddington e Dirac a sviluppare teorie fisiche alternative (ad esempio una velocità della luce variabile o la teoria di G variabile di Dirac ).[47] Dopo la misurazione della costante cosmologica nel 1998, stimata in 10-122 unità di Planck, è stato notato che ciò è suggestivamente vicino al reciproco dell'età dell'universo al quadrato.[48] Barrow and Shaw (2011) hanno proposto una teoria modificata in cui Λ è un campo che si evolve in modo tale che il suo valore rimanga Λ ~ T −2 per tutta la storia dell'universo.[49]

Tabella 5: Alcuni quantità fisiche comuni in unità di Planck
Quantities versione in Lorentz–Heaviside

in unità di Planck

versione di Gaussian

in unità di Planck

Gravità standard () 6,25154×10−51 1,76353×10−51
Atmosfera standard () 3,45343×10−108 2,18691×10−109
Tempo astronomico solare 4,52091×1047 1,60262×1048
Raggio equatoriale della Terra 1,11323×1041 3,94629×1041
Circonferenza equatoriale della Terra 6,99465×1041 2,47954×1042
Diametro dell'universo osservabile 1,53594×1061 5,44477×1061
Volume della Terra 1,89062×1055 6,70208×1055
Volume dell'universo osservabile 6,98156×10114 2,47490×10115
Massa della Terra 9,72717×1032 2,74398×1032
Massa dell'universo osservabile 2,37796×1061 6,70811×1060
Desità media della Terra 1,68905×10−91 1,06960×10−93
Densità dell'universo osservabile 3,03257×10−121 1,92040×10−123
Età della Terra 7,49657×1059 2,65747×1060
Età dell'universo (tempo di Hubble) 2,27853×1060 8,07719×1060
Temperatura media della Terra 7,18485×10−30 2,02681×10−30
Temperatura dell'universo 6,81806×10−32 1,92334×10−32
Costante di Hubble () 4,20446×10−61 1,18605×10−61
Costante cosmologica () 3,62922×10−121 2,88805×10−122
Densità del vuoto energetico () 1,82567×10−121 1,15612×10−123
Punto di evaporazione dell'acqua 6,83432×10−30 1,92793×10−30
Punto di ebollizione dell'acqua 9,33636×10−30 2,63374×10−30
Pressione del punto triplo dell'acqua 2,08469×10−109 1,32015×10−111
Temperatura del punto triplo dell'acqua 6,83457×10−30 1,92800×10−30
Densità dell'acqua 3,06320×10−92 1,93980×10−94
Calore specifico dell'acqua 1,86061×1018 6,59570×1018
Volume molare ideale () 2,00522×1077 8,93256×1078
Carica elementare () 3,02822×10−1 8,54245×10−2
Massa dell'elettrone () 1,48368×10−22 4,18539×10−23
Massa del protone () 2,72427×10−19 7,68502×10−20
Massa del neutrone () 2,72802×10−19 7,69562×10−20
Massa atomica costante () 2,70459×10−19 7,62951×10−20
Rapporto carica-massa dell'elettrone () −2,04102×1021
Rapporto carica-massa del protone () 1,11157×1018
giromagneto del protone () 3,10445×1018
Momento magnetico dell'elettrone () −1,02169×1021
Momento magnetico del protone () 1,55223×1018
Costante di Fareday () 3,02822×10−1 8,54245×10−2
Raggio di Bohr () 9,23620×1023 3,27415×1024
Magnetone di Bohr () 1,02051×1021
Flusso magnetico quantistico () 10,3744 36,7762
Raggio classico dell'elettrone () 4,91840×1019 1,74353×1020
Compton wavelength dell'elettrone () 2,71873×1028 9,63763×1028
Costante di Rydberg () 6,28727×10−28 1,77361×10−28
Costante di Josephson () 9,63913×10−2 2,71915×10−2
Costante di von Klitzing () 68.5180 861.023
Costante di Stefan–Boltzmann () 1,64493×10−1

Semplificazione delle equazioni[modifica | modifica wikitesto]

Le quantità fisiche che hanno dimensioni diverse (come il tempo e la lunghezza) non possono essere equiparate anche se sono numericamente uguali (1 secondo non è uguale a 1 metro). Nella fisica teorica, tuttavia, questo scrupolo può essere messo da parte, mediante un processo chiamato non dimensionalizzazione. La tabella 6 mostra come l'uso delle unità di Planck semplifichi molte equazioni fondamentali della fisica, poiché ciò conferisce a ciascuna delle cinque costanti fondamentali, e prodotti di esse, un semplice valore numerico di 1 . Nel modulo SI, le unità devono essere contabilizzate. Nella forma non dimensionata, le unità, che ora sono unità di Planck, non devono essere scritte se ne viene compreso l'uso.

Tabella 6: Equazioni usate spesso nelle unità di Planck
Nome Equazione Unità Naturali di Planck
Versione Lorentz–Heaviside Versione Gaussian
Proprietà delle Forze
Legge di gravitazione universale di Newton
Forza di Coulomb per cariche elettriche
Forza di Coulomb per cariche magnetiche
Forza Entropica[50]

Gravità Entropica[50] proposto da Eric Verlinde e Ted Jacobson

Proprietà dei Quanti
Energia di un fotone o di una particella d'impulso

Momento di un fotone
Lunghezza d'onda e lunghezza d'onda Compton e Ipotesi di de Broglie (come materia d'onda)

La formula e lunghezza d'onda Compton e Ipotesi di de Broglie

La celebre formula E=mc² di Einstein
Relazione energia-momento
Principio di indeterminazione di Heisenberg
Equazione di Schrödinger in forma Hamiltoniana
Forma di Hamilton dell'Equazione di Schrödinger
Forma covariante dell'Equazione di Dirac
Equazione di Schrödinger
Proprietà Atomiche
Costante di struttura fine
Costante di accopiamento gravitazionale
Elettronvolt
Flusso magnetico: costante di Josephson KJ
Effetto Hall quantistico: costante di Von Klitzing RK
Raggio di Bhor di un atomo
Nucleo magnetico di Bhor
Costante di Rydberg R
Rapporto di carica-massa dell'ellettrone
Costante di Avogadro NA

Costante di Fareday Fe
Proprietà Termodinamiche
Beta termodinamica, temperatura inversa ''β''
Temperature termodinamica ''Θ, T''

Entropia ''S''

Entropia dell'informazione di Shannon
Pressione ''p''

Energia interna ''U''
Entalpia ''H''
Funzione di partizione (meccanica statistica) ''Z''
Energia libera di Gibbs ''G''
Energia libera di Helmholtz ''F''
Energia libera di Landau, grande potenziale
Potenziale di Massieu, entropia libera di Helmholtz
Potenziale di Planck, entropia libera di Gibbs
Relazioni di Maxwell:

Potenziale chimico

Dove F non è proporzionale di N perché μ_i dipende dalla pressione.

Dove G è proporzionale a N (purché la composizione del rapporto molare del sistema rimanga la stessa) perché μ_i dipende solo dalla temperatura, dalla pressione e dalla composizione.

Calore generale, capacità termica
capacità termica (isobarica)
Calore specifico (isobarica)
Calore specifico molare (isobarica)
capacità termica (isocorica/volumetrica)
Calore specifico (isocorica)
Calore specifico molare (isocorica)
Calore specifico latente
Rapporto tra capacità di calore isobarica e isocorica, rapporto di capacità termica, indice adiabatico. Rapporto di Mayer
Gradiente della temperatura
Velocità di conduzione termica, corrente termica, flusso termico, potenza di calore.
Intesità di calore
Densità del flusso termico (analogo vettoriale dell'intensità termica sopra)
Proprietà Quantistiche Termiche

Grado di libertà

Funione di partizione

Traslazione

Vibrazione

Rotazione

Definizione della temperatura per l'energia d'una particella per grado di libertà
Legge di Boltzmann per l'entropia
Legge di Planck (intensità di superficie per unità d'angolo solido per unità di frequenza angolare) per un corpo nero a temperatura Θ.
Costante dei gas