Trasformazione di Householder

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In matematica, una trasformazione di Householder in uno spazio tridimensionale è la riflessione dei vettori rispetto ad un piano passante per l'origine. In generale in uno spazio euclideo essa è una trasformazione lineare che descrive una riflessione rispetto ad un iperpiano contenente l'origine.

La trasformazione di Householder è stata introdotta nel 1958 dal matematico statunitense Alston Scott Householder (1905-1993). Questa può essere usata per ottenere una fattorizzazione QR di una matrice.

Definizione e proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La riflessione di un punto rispetto ad un iperpiano, definito come ortogonale ad un versore , è data da:

dove denota il prodotto scalare euclideo, analogo al prodotto tra matrici, che definisce la distanza di dall'iperpiano, mentre denota la trasposta (la trasposta coniugata nel caso complesso) del vettore (inteso come matrice di una sola colonna). Si tratta di una trasformazione lineare che è rappresentata dalla matrice di Householder:

dove è la matrice identità.

La matrice di Householder ha le seguenti proprietà:

  • è ortogonale, ovvero , cioè . Infatti:
  • Si è così dimostrato che è un'involuzione, ovvero .
  • Possiede soltanto autovalori uguali a .
  • Il determinante (prodotto degli autovalori) è .

Le matrici di Householder sono un caso particolare di matrici elementari.

Applicazione della matrice di trasformazione[modifica | modifica wikitesto]

La matrice di Householder può essere usata per annullare tutte le componenti di un vettore tranne la prima, nel modo seguente. Siano:

e si definisce:

Si ha che:

Infatti, definendo :

si ha:

La fattorizzazione QR[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Decomposizione QR.

Sia un arbitrario vettore colonna m-dimensionale di lunghezza (per la stabilità numerica del metodo si assume che ha lo stesso segno della prima coordinata di ). Se è il vettore , si considerino:

Data la matrice di Householder , per quanto detto sopra si ha:

e questo risultato può essere usato per trasformare gradualmente una matrice di tipo nella forma triangolare superiore: innanzitutto si moltiplica per la matrice di Householder ottenuta scegliendo per la sua prima colonna. Questa risulta in una matrice che presenta zeri nella colonna sinistra, ad eccezione della sola prima riga:

Questa modifica può essere ripetuta per mediante una matrice di Housholder . Si noti che è più piccola di . Poiché si vuole che sia reale, per operare su invece di è necessario espandere questa nella parte superiore sinistra, riempiendola di entrate 1, o in generale:

Dopo iterazioni di questo processo, con , si giunge a:

che è una matrice triangolare superiore. In tal modo, con:

la decomposizione è una decomposizione QR di . Questo metodo risulta numericamente stabile.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) WH Press, SA Teukolsky, WT Vetterling e BP Flannery, Section 11.3.2. Householder Method, in Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd, New York, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88068-8.
  • (EN) Householder, A. S. Principles of Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, pp. 135-138, 1953.
  • (EN) Lehoucq, R. B. "The Computation of Elementary Unitary Matrices." ACM Trans. Math. Software 22, 393-400, 1996.
  • (EN) Trefethen, L. N. and Bau, D. III. Numerical Linear Algebra. Philadelphia, PA: SIAM, 1997.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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