Trasferimento alla Sternfeld

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Un trasferimento alla Sternfeld in cui R' > R (blu-rossa)

In astronautica e in ingegneria aerospaziale, il trasferimento alla Sternfeld[1] ideato nel 1934 è una manovra orbitale biellittica (sfrutta due ellissi di trasferimento) a 3 impulsi, impiegata per passare da un'orbita circolare iniziale di raggio r_i ad un'orbita circolare finale di raggio r_f, servendosi di una circonferenza di supporto, solitamente di raggio molto maggiore. Sebbene il tempo di trasferimento dall'orbita di raggio r_i all'orbita di raggio r_f sia maggiore rispetto ad un trasferimento alla Hohmann, risulta più conveniente in termini di Delta-v se il rapporto tra r_f ed r_i è maggiore di 12.

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

  • La manovra biellittica bitangente è una manovra biellittica in quanto il trasferimento si effettua attraverso due semiellissi: la prima semiellisse di semiasse maggiore a_1 collega la circonferenza di raggio r_i alla circonferenza di supporto di raggio r_{supp}, mentre la seconda semiellisse di semiasse maggiore a_2 collega la circonferenza di supporto all'orbita circolare finale r_f;
  • La manovra viene chiamata bitangente in quanto ogni ellisse di trasferimento è tangente a due circonferenze: la prima ellisse è tangente alla circolare iniziale e alla circolare di supporto, mentre la seconda ellisse è tangente a quest'ultima ed alla circolare finale:
  • Le coniche sono tutte cofocali nel pianeta attrattore e coplanari, anche se uno dei vantaggi di questo tipo di trasferimento è la possibilità di fare un cambio di piano orbitale nell'apocentro della prima ellisse; in questo modo si riduce il Delta-v necessario al cambio di piano, che dipende dalla distanza dal corpo centrale.

Calcolo del trasferimento[modifica | modifica sorgente]

Utilizzando l'equazione di Conservazione dell'energia orbitale specifica

 v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)

dove

  • v è il modulo della velocità nel punto considerato;
  •  \mu\ è la costante gravitazionale planetaria dell'attrattore;
  • r è il modulo della distanza dall'attrattore;
  • a è il semiasse maggiore della conica;

è possibile determinare le varie velocità nei punti di manovra; i Delta-v saranno le differenze di velocità che nei 3 istanti considerati dovranno essere impressi dalla sonda per il cambio di orbita.

Il primo \Delta v è fornito per passare dall'orbita di raggio r_i all'orbita ellittica di semiasse a_1:

\Delta v_A = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_{supp}} - \frac{\mu}{a_1}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_i}}

Il secondo \Delta v è fornito per passare dalla prima ellisse di trasferimento alla seconda ellisse di trasferimento, di semiasse a_2. Si noti che nel punto di applicazione di questo secondo Delta-v la distanza dall'attrattore è pari a r_{supp}, molto maggiore dei raggi finale e iniziale. Questo punto è l'apocentro della prima orbita di trasferimento.

\Delta v_B = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_{supp}} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_{supp}} - \frac{\mu}{a_1}}

Il terzo \Delta v è fornito per circolarizzare l'orbita sulla circonferenza finale di raggio r_f. La variazione impulsiva di velocità è applicata nel pericentro della seconda ellisse di trasferimento.

\Delta v_C = \sqrt{\frac{\mu}{r_f}} - \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_{supp}} - \frac{\mu}{a_2}}

Si ricorda che i due semiassi delle ellissi valgono

a_1 = \frac{r_i+r_{supp}}{2}
a_2 = \frac{r_f+r_{supp}}{2}

Il costo totale della manovra risulta  \|\Delta v_{tot}\|\ = \|\Delta v_A\|\ + \|\Delta v_B\|\ + \|\Delta v_C\|\

Tempo di volo[modifica | modifica sorgente]

Uno svantaggio è sicuramente il tempo di volo, che risulta molto maggiore di un trasferimento diretto tra r_i ed r_f utilizzando un trasferimento alla Hohmann. Infatti il tempo di trasferimento con una manovra biellittica bitangente vale

t_{tr} = \pi\sqrt{a_1^3/\mu} + \pi\sqrt{a_2^3/\mu}

mentre nel caso alla Hohmann risulterebbe

t_{H} = \pi\sqrt{a^3/\mu}

con

a = \frac{r_i+r_f}{2}

Vantaggi rispetto al trasferimento alla Hohmann[modifica | modifica sorgente]

Un primo vantaggio è il minore Delta-v necessario se il parametro

 b = \frac{r_f}{r_i}>12 .

Il valore in questione è ottenuto normalizzando i vari \Delta v rispetto alla velocità sulla prima circolare ed eguagliando i \Delta v totali nei due casi di trasferimento.

Un ulteriore vantaggio è la convenienza a effettuare i dispendiosi cambi di piano orbitale lontano dall'attrattore, ad esempio al secondo impulso della manovra.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Sternfeld A., Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée. - Comptes rendus de l'Académie des sciences (Paris), vol. 198, pp. 711 - 713.
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