Test di Lucas-Lehmer

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Il test di Lucas-Lehmer è una verifica della primalità dei primi di Mersenne. In sintesi, per numero primo, detto il -esimo numero di Mersenne, esso è primo se e solo se divide , dove è l'n-esimo termine della successione definita ricorsivamente come:

a partire da

Il test è stato sviluppato originariamente dal matematico Edouard Lucas nel 1870 e semplificato da Derrick Norman Lehmer nel 1930. Il test è talmente rapido e facile da programmare, che nel 1978 due studenti delle superiori dimostrarono che il numero di Mersenne è primo, battendo il precedente record del più grande numero primo allora conosciuto.

È possibile anche un'ottimizzazione nel tempo di calcolo, per poter trattare numeri maggiori, dato che cresce molto velocemente, all'aumentare di , per diventare presto intrattabile. Si può sostituire, alla successione precedente, quella specifica per il numero da verificare , ricavata come segue:

dove mod è il modulo, ossia il resto della divisione per . Questa successione ha però lo svantaggio di essere utile solo per i numeri di Mersenne minori o uguali a .

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia p un numero primo. Il corrispondente numero di Mersenne è primo se e solo se:

Osservazione[modifica | modifica wikitesto]

Non è restrittivo considerare i numeri di Mersenne con primo anziché con numero naturale. Si dimostra infatti che se è composto, allora anche lo è.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per la sufficienza: siano e . È facile allora mostrare per induzione che

Poiché divide , esiste un intero tale che

ossia

Moliplicando per , ottengo

Elevando al quadrato

Procediamo per assurdo. Supponiamo che sia composto e prendiamo un suo divisore d minore della sua radice quadrata. Sia G il gruppo dei numeri nella forma che sono anche invertibili: G ha al più elementi. Se riscriviamo la 1 e la 2 modulo d, otteniamo e rispettivamente. Quindi u è un elemento di G di periodo . Dato che il periodo di un elemento può al massimo essere pari al numero degli elementi del gruppo, abbiamo la seguente disuguaglianza

Dato che abbiamo una contraddizione, non ha divisori, e dunque è primo.

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