Test dei run

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In statistica il test dei run, o test delle sequenze, o test di Wald-Wolfowitz (da Abraham Wald e Jacob Wolfowitz) è un test di verifica d'ipotesi, non parametrico, condotto sull'indipendenza dei dati in una sequenza binaria.

Il test ammette che la sequenza venga da un processo di Bernoulli e ne accetta le frequenze osservate, per controllare la casualità della distribuzione dei dati. Per fare questo considera il numero di catene alternate di simboli uguali, o run.

I run[modifica | modifica wikitesto]

Ad esempio, la sequenza "1111000111001111110000" possiede 6 run: "1111 000 111 00 111111 0000". I simboli comunemente usati sono "+" e "-", perché il test viene solitamente condotto per controllare la distribuzione dei valori superiori o inferiori alla mediana o ad una funzione di interpolazione.

Una sequenza in cui i run siano pochi (come "111111000000") o troppi (come "101010101010") rispetto alla frequenza dei simboli probabilmente non è il risultato di una fluttuazione dei dati e può indicare un errore sistematico.

Test[modifica | modifica wikitesto]

Il test dei run suppone che il numero di run di una sequenza lunga , di simboli "+" e simboli "-" (quindi con si comporti come una variabile aleatoria di legge normale con

valore atteso
e varianza .

Solitamente si chiede che entrambi e siano superiori a 20.

Test d'ipotesi alternativi sono il test di Kolmogorov-Smirnov e il test χ², che è "complementare" al test dei run (nel senso che considera i valori assoluti degli scostamenti dalla media, non i loro segni).

Probabilità[modifica | modifica wikitesto]

La situazione del test è modellizzata da un processo di Bernoulli di parametro p, ovvero in una successione di variabili aleatorie indipendenti X1, ..., Xn con probabilità di verificare una proprietà (simbolo "+") e di non verificarla (simbolo "-"). Il numero di simboli dopo n prove è dato dalle variabili aleatorie e , con valore atteso rispettivamente n+=np e n-=nq.

Il numero di run può essere definito come

,

dove le variabili aleatorie contano i nuovi run.

La speranza e la varianza di sono

;
.

Lo stimatore del valore atteso di , , è privo di bias:

.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Ad esempio, per una sequenza con N=16, N+=10 e N-=6 (normalmente il test viene condotto su sequenze più lunghe), secondo il test dei run se i caratteri fossero indipendenti il numero di run dovebbe seguire la legge normale con

speranza  ;
varianza  ;
scarto tipo .

In particolare, gli stessi dati sono presenti con diverse distribuzioni in queste sequenze:

  • "1111111111000000" ha 2 run, pari a circa ,
  • "1010110110101101" ha 13 run, pari a circa ,
  • "1100110111001101" ha 9 run, pari a circa ;

i loro valori p (ovvero le probabilità di discostarsi così tanto dalla media) sono all'incirca 0,0005 per la prima, 0,01 per a seconda e 0,76 per la terza.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]