Test F

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In statistica il test F per il confronto di due varianze è un test di ipotesi basato sulla distribuzione F di Fisher-Snedecor e volto a verificare l'ipotesi che due popolazioni che seguono entrambe distribuzioni normali abbiano la stessa varianza.

Procedimento[modifica | modifica wikitesto]

Se le popolazioni X e Y seguono rispettivamente le distribuzioni normali e , allora

  • i campioni e si suppongono indipendenti, i primi isonomi a X e i secondi isonomi a Y;
  • gli stimatori delle varianze osservate e sono variabili aleatorie indipendenti;
  • le variabili aleatorie e seguono rispettivamente le distribuzioni chi quadro e ;
  • il rapporto segue la distribuzione di Fisher-Snedecor .

Variabile di decisione[modifica | modifica wikitesto]

Sotto l'ipotesi , ovvero se le due popolazioni hanno la stessa varianza, allora la variabile aleatoria

segue la distribuzione di Fisher-Snedecor

di parametri n-1 e m-1, dove n e m sono le numerosità dei due campioni.

La scelta del numeratore non influenza il test: sotto l'ipotesi nulla la variabile aleatoria segue la distribuzione .

Il test[modifica | modifica wikitesto]

Come regione di accettazione, al livello di significatività α, viene preso l'intervallo compreso tra i quantili di ordine e , mentre la regione di rifiuto è quella esclusa:

Un valore appartenente all'intervallo suggerisce che la varianza di X sia minore della varianza di Y, mentre un valore appartenente all'intervallo suggerisce l'inverso.

Econometria[modifica | modifica wikitesto]

In molti casi la statistica F può essere calcolata con un processo più diretto:

[1]

dove SSRi è la somma dei quadrati residui (dall'inglese Sum of Square Residuals) del modello i.

In econometria vale anche la seguente formula di moltiplicazioni tra matrici:

dove:

  • è la matrice dei vincoli;
  • è il parametro d'eguagliaza;
  • è l'inversa della matrice con le covarianze;
  • è il numero dei vincoli di .

Solitamente gli strumenti sono rilevanti se F ≥ 10

Una tavola dei valori critici del test F può essere trovata qui.

Applicazione alla comparazione di diverse statistiche [modifica | modifica wikitesto]

In analisi dei dati il test F viene comunemente usato per confrontare i risultati ottenuti con due diversi metodi e valutati con l'estimatore .[2] Se si hanno due variabili e che seguono la distribuzione di a e gradi di libertà rispettivamente, si può costruire la variabile :

che sarà distribuita secondo la Distribuzione F:

.

Per capire se e sono consistenti si usa quindi l'integrale della distribuzione di probabilità per :

dove è il particolare valore di ottenuto.

Il valore di dice la probabilità di trovare un valore di pari a o più alto da dati casuali se e sono in accordo.

Tipicamente il test F usato per i confronta due fit applicati agli stessi dati per capire se uno è migliore dell'altro. Se il valore di è minore del livello di confidenza scelto (ad es. 5%), si ha una significativa differenza nella bontà dei due fit.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ GraphPad Software Inc, How the F test works to compare models, GraphPad Software Inc, 2007/10/11.
  2. ^ Bevington, P.R. Robinson, D. K. - Data reduction and error analysis for physical sciences , Mc Graw Hill