Teoria dei numeri geometrica

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In teoria dei numeri, la teoria dei numeri geometrica studia corpi convessi e vettori interi nello spazio n-dimensionale[1]. La teoria dei numeri geometrica fu introdotta da Hermann Minkowski nel 1896.

La disciplina è strettamente connessa con altri campi della matematica, specialmente con l'analisi funzionale e l'approssimazione diofantea.[2]

I risultati di Minkowski[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo che Γ sia un reticolo nello spazio euclideo n-dimensionale Rn e che K sia un corpo convesso centralmente simmetrico.

Il teorema di Minkowski, conosciuto anche come il primo teorema di Minkowski, illustra che se , allora K contiene un vettore non negativo in Γ.

Il minimo successivo λk è definito come il minimo inferiore dei numeri λ tali che λK contenga k vettori linearmente indipendenti di Γ.

Il teorema di Minkowski sui minimi successivi, a volte chiamato il secondo teorema di Minkowski, è un rafforzamento del primo teorema e stabilisce che [3]

Ricerche successive[modifica | modifica wikitesto]

Negli anni 1930-1960 furono condotte svariate ricerche da molteplici matematici (che includono Louis Mordell, Harold Davenport e Carl Ludwig Siegel). Recentemente, i matematici Lenstra, Brion, e Barvinok hanno sviluppato teorie in combinatoria che enumerano i punti del reticolo in corpi complessi.[4]

Teorema dei sottospazi di W. M. Schmidt[modifica | modifica wikitesto]

In teoria dei numeri geometrica, il teorema dei sottospazi fu descritto da Wolfgang M. Schmidt nel 1972.[5] Dimostra che se n è un numero intero positivo, e L1,...,Ln sono polinomi omogenei indipendenti in n variabili con coefficienti algebrici e se ε>0 è un qualsiasi numero reale, allora i punti interi non negativi x in n coordinate con

giacciono su un numero finito di sottospazi vettoriali Qn.

Influenza in analisi funzionale[modifica | modifica wikitesto]

Le scoperte di Minkowski ebbero una profonda influenza in analisi funzionale. Minkowski dimostrò che corpi convessi simmetrici inducono norme in spazi vettoriali di dimensione finita. Il teorema di Minkowski fu generalizzato negli spazi topologici vettoriali da Kolmogorov.[6]

Ricercatori continuano a studiare generalizzazioni in insiemi stellati ed altri insiemi convessi.[7]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ MSC classification, 2010, available at http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Classification 11HXX.
  2. ^ Schmidt's books. Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász.
  3. ^ Cassels (1971) p. 203
  4. ^ Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász, and Beck and Robins.
  5. ^ Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pp. 526-551. See also Schmidt's books; compare Bombieri and Vaaler and also Bombieri and Gubler.
  6. ^ For Kolmogorov's normability theorem, see Walter Rudin's Functional Analysis. For more results, see Schneider, and Thompson and see Kalton et alii.
  7. ^ Kalton et alii. Gardner

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]