Teorema di compattezza (logica matematica)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Nella logica matematica il Teorema di compattezza è un risultato relativo all'esistenza di modelli per insiemi infiniti di enunciati nell'ambito della logica proposizionale o di un linguaggio del primo ordine.

Logica proposizionale[modifica | modifica sorgente]

Nell' ambito della logica proposizionale il teorema afferma che:

Se ogni sottoinsieme finito di un insieme S (possibilmente infinito) di formule della logica proposizionale è soddisfacibile allora anche S è soddisfacibile.

Applicazioni e conseguenze[modifica | modifica sorgente]

  • Il teorema di compattezza può essere utilizzato per dimostrare che se il teorema dei quattro colori vale per qualsiasi mappa finita allora deve valere anche per mappe infinite.
  • Il teorema di compattezza è alla base dell'Analisi non standard in cui grazie a questo teorema si riescono ad affiancare l'infinito e l'infinitesimo attuale ai numero reali standard con la conseguenza di poter rifondare tutta l'analisi matematica senza bisogno del complicato concetto di limite.

Logica del primo ordine[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di un linguaggio del primo ordine il teorema di compattezza è il seguente:

Se ogni sottoinsieme finito di un insieme \Phi di formule in un linguaggio del primo ordine ha un modello allora anche \Phi ha un modello.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica