Teorema di Zsigmondy

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Nella teoria dei numeri, il teorema di Zsigmondy, che prende il nome da Karl Zsigmondy, afferma che se a > b > 0 sono interi coprimi, allora per ogni intero n ≥ 1, esiste un numero primo p (chiamato divisore primitivo primo) che divide anbn, ma non divide akbk per tutti gli interi positivi k < n, con le seguenti eccezioni:

  • n = 1, ab = 1; anbn = 1 il quale non ha divisori primi.
  • n = 2, con a + b potenza di due; poiché a² - b² = (a + b)(a1 - b1) ed essendo a - b divisibile per 2, a² - b² non può contenere divisori primi diversi da quelli di a - b.
  • n = 6, a = 2, b = 1; poiché , ma né 3 né 7 soddisfano la tesi del teorema; infatti, per k = 4, 3 divide , mentre, per k = 3, 7 divide .

Questo teorema generalizza quello di Bang, il quale afferma che se n > 1 e n non è uguale a 6, allora 2n − 1 ha un divisore primo che non divide 2k − 1 per ogni k < n.

Analogamente, an + bn ha almeno un divisore primitivo primo con l'eccezione 23 + 13 = 9.

Il teorema di Zsigmondy è spesso utile, specialmente nella teoria dei gruppi, per dimostrare che vari gruppi hanno ordini distinti eccetto quando sono noti essere gli stessi.[1]

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema è stato scoperto da Zsigmondy mentre lavorava a Vienna dal 1895 fino al 1925

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di interi diversi da 0. L'insieme di Zsigmondy associato alla successione è l'insieme

L'insieme di Zsigmondy è dunque l'insieme degli indici tali che ogni numero primo che divide divide anche per qualche . Così il teorema di Zsigmondy implica che , e il teorema di Carmichael afferma che l'insieme Zsigmondy della successione di Fibonacci è , e quello della successione di Pell è . Nel 2001 Bilu, Hanrot, e Voutier[2] hanno dimostrato che in generale, se è una successione di Lucas o una successione di Lehmer, allora . Le successioni di Lucas e Lehmer sono esempi di successioni di divisibilità.

È noto anche che se è una successione ellittica di divisibilità, allora l'insieme di Zsigmondy è finito.[3]Tuttavia, il risultato è inefficace, nel senso che la prova non dà un esplicito limite superiore per l'elemento più grande in , anche se è possibile dare un effettivo limite superiore per il numero di elementi in .[4]

Numeri di Mersenne[modifica | modifica wikitesto]

Un caso specifico del teorema considera -esimo numero di Mersenne , dunque ogni numero , , , ... ha un numero primo nella fattorizzazione che non è presente nella fattorizzazione di un elemento precedente della successione, eccetto . Ad esempio , , , ... hanno i fattori 3, 7, 5, 31, (1), 127, 17, 73, 11, 23(89) , ... che non si presentano prima di . Questi fattori, talvolta, vengono chiamati numeri di Zsigmondy .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ E.Artin, The orders of the linear groups, in Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 8, n. 3.
  2. ^ Y. Bilu, G. Hanrot, P.M. Voutier, Esistenza di divisori primitivi dei numeri di Lucas e Lehmer, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75-122
  3. ^ J.H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, J. Number Theory 30 (1988), 226-237
  4. ^ P. Ingram, J.H. Silverman, Uniform estimates for primitive divisors in elliptic divisibility sequences, Number theory, Analysis and 'Geometry, Springer-Verlag, 2010, 233-263.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste, in Journal Monatshefte für Mathematik, vol. 3, n. 1.
  • Th. Schmid, Karl Zsigmondy, in Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 36.
  • Moshe Roitman, On Zsigmondy Primes, in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 125, n. 7.
  • Walter Feit, On Large Zsigmondy Primes, in Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 102, n. 1.
  • Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward, Recurrence sequences, Providence, RI, American Mathematical Society, 2003, pp. 103–104, ISBN 0-8218-3387-1.
  • Ribenboim, P, The Little Book of Big Primes, New York, Springer-Verlag, 1991, p. 27.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Zsigmondy, in MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata

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