Teorema di Riemann-Dini

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In matematica, il teorema di Riemann Dini è un teorema sulle serie a valori reali semplicemente convergenti, chiamato così in onore dei matematici Bernhard Riemann e Ulisse Dini.

Il teorema afferma che se una serie è (semplicemente) convergente, ma non assolutamente convergente, allora, dato un qualsiasi numero reale, esiste una permutazione dei suoi termini che la rende convergente a tale numero; inoltre, esistono permutazioni dei termini che rendono la serie divergente a e a .

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

ma non assolutamente convergente,

Sia inoltre . Allora esiste una permutazione

tale che

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Lemma[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni si ponga

(queste serie non sono altro che le serie dei termini, rispettivamente, positivi e negativi estratti dalla serie originaria; ovviamente tutti quelli uguali a 0 possono essere rimossi).

Allora

Infatti, dato che la serie converge e che

allora le serie e o sono entrambe convergenti o entrambe divergenti. Ma se le due serie convergessero, allora anche dovrebbe convergere, il che è assurdo. Inoltre, poiché per ogni e , allora le due serie associate a tali successioni devono divergere rispettivamente a e .

Dimostrazione del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Per semplicità si supponga che , il caso è analogo.

Costruzione della permutazione[modifica | modifica wikitesto]

Una possibile costruzione della permutazione σ di procede nel modo seguente: si sommano i termini non negativi fino ad oltrepassare il valore e in seguito si aggiungano i termini strettamente negativi fino a quando la somma parziale diventa strettamente inferiore ad (questo procedimento è sempre possibile grazie al lemma). Si itera quindi la procedura, sommando i termini positivi a partire da dove ci si è fermati, in seguito i termini negativi, e via discorrendo. La permutazione σ si definisce quindi come la permutazione associata all'ordinamento dei termini utilizzato in tale procedura.

Convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Dato che la serie è convergente allora per ogni esiste tale che

Di conseguenza, prendendo , si ha che

(infatti certamente σ(n) > N0). Sia ora il più piccolo intero maggiore di tale che e siano di segno opposto. Per come è stata costruita la permutazione σ , si ha che

Sia definisca ora, per , la proposizione

È chiaro che è verificata. Si supponga ora che sia vera per . Distinguiamo a questo punto i due casi che seguono.

Primo caso
Se
allora
e dunque
Secondo caso
Se
allora
perciò

Per il principio d'induzione, risulta dimostrato che

e dunque la serie converge ad .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si prenda in esame la serie armonica a segni alterni, denotando con il suo termine n-esimo,

La serie converge per il criterio di Leibniz, ma non converge assolutamente in quanto la serie armonica diverge positivamente.

È noto che:

(si veda la dimostrazione fatta nella voce serie armonica a segni alterni ).

Riordinando la successione nel modo seguente,

ossia scomponendo la serie in blocchi da tre della forma:

Sommando i primi due termini si ha

pertanto la successione delle somme parziali può essere riscritta come:

che raccogliendo il fattore 1/2 non è altro che

ossia la metà del valore della serie armonica a segni alterni.

Teoremi derivati[modifica | modifica wikitesto]

Teorema di Sierpiński[modifica | modifica wikitesto]

Nel teorema di Riemann, la permutazione usata per riarrangiare una serie semplicemente convergente per ottenere un certo potrebbe avere un numero arbitrario di punti non fissi, cioè tutti gli indici dei termini della serie potrebbero essere permutati. Ci si potrebbe chiedere se è possibile riarrangiare solo gli indici in un insieme più piccolo in modo che la serie converga a un arbitrario numero reale o diverga a . La risposta a questa domanda è positiva: Sierpiński dimostrò che è sufficiente permutare solo qualche termine strettamente positivo oppure qualche termine strettamente negativo.[1][2][3]

Questa domanda è stata inoltre esplorata usando il concetto di ideale: per esempio, Wilczyński provò che è sufficiente riarrangiare solo gli indici nell'ideale degli insiemi di densità asintiotica zero.[4] Filipów e Szuca dimostrarono che anche altri ideali hanno questa proprietà.[5]

Teorema di Steinitz[modifica | modifica wikitesto]

Data una serie convergente di numeri complessi, parecchi casi possono accadere quando si considera l'insieme delle possibili somme per tutte le serie ottenute permutando i suoi termini:

  • la serie potrebbe convergere assolutamente; allora tutte le serie riarrangiate convergono e inoltre allo stesso valore: l'insieme delle somme delle serie permutate si riduce ad un punto.
  • la serie potrebbe non convergere assolutamente; se denota l'insieme delle somme che convergono, allora o è una retta nel piano complesso , della forma
oppure è l'intero piano complesso .

Più in generale, data una serie convergente di vettori in uno spazio vettoriale su di dimensione finita, l'insieme delle somme delle serie permutate convergenti è uno sottospazio affine di .

Enunciato più generale[modifica | modifica wikitesto]

Si dimostra[6] che il teorema può essere enunciato, in modo più potente, nella seguente forma:

Sia una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

ma non assolutamente convergente,

Siano inoltre con . Allora esiste una permutazione

tale che

.

Data la definizione di limiti inferiore e superiore, questo enunciato si riduce al precedente nel caso si scelga α = β.

Scegliendo invece α ≠ β si ha un risultato non previsto dall'enunciato precedente, ovvero che il riarrangiamento della serie sia oscillante fra α e β.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Wacław Sierpiński, Contribution à la théorie des séries divergentes, in Comp. Rend. Soc. Sci. Varsovie, vol. 3, 1910, pp. 89–93.
  2. ^ Wacław Sierpiński, Remarque sur la théorème de Riemann relatif aux séries semi-convergentes, in Prac. Mat. Fiz., XXI, 1910, pp. 17–20.
  3. ^ Wacław Sierpiński, Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes, in Bull. Intern. Acad. Sci.: Cracovie A, 149-158, 1911.
  4. ^ Władysław Wilczyński, On Riemann derangement theorem, in Słup. Pr. Mat.-Fiz., vol. 4, 2007, pp. 79–82.
  5. ^ Rafał Filipów e Piotr Szuca, Rearrangement of conditionally convergent series on a small set, in Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 362, nº 1, February 2010, pp. 64–71, DOI:10.1016/j.jmaa.2009.07.029.
  6. ^ P. M. Soardi, Analisi matematica, Novara, Città studi edizioni, 2010, pp. 143-145..

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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