Teorema di Pick

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Poligono costruito su una griglia di punti. Applicando il teorema di Pick si ha: i = 39, p = 14, da cui A = 39 + 14/2 - 1 = 39 + 7 - 1 = 45.

Il teorema di Pick è un teorema di geometria che permette di calcolare l'area di un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere.

Trattazione formale[modifica | modifica wikitesto]

In un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere, siano:

  • il numero di punti a coordinate intere interni al poligono;
  • il numero di punti a coordinate intere sul perimetro del poligono (vertici compresi).

L'area del poligono può essere calcolata tramite la formula:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Osserviamo innanzitutto che ogni poligono è decomponibile in triangoli. La dimostrazione del teorema di Pick equivale dunque a dimostrare le seguenti tesi:

Consideriamo un poligono risultante dall'unione di due poligoni e , i cui lati condividono punti di contatto a coordinate intere. Vogliamo dimostrare che , dove è la formula di Pick. Per il poligono si ha

Il primo punto è stato dimostrato. Per dimostrare il secondo punto, si procede per gradi, prima dimostrando il teorema per rettangoli, poi per triangoli rettangoli particolari, e infine considerando i triangoli più generici come somme o differenze di tali figure elementari. Questo è lecito proprio perché l'additività è stata dimostrata.

Applicando il teorema ad un rettangolo con i lati e rispettivamente paralleli ai due assi, si ha:

che è corretto. Per un triangolo rettangolo di cateti e e la cui ipotenusa non ha punti a coordinate intere (eccetto gli estremi), si ha:

che è corretto. I triangoli rettangoli con punti sull'ipotenusa possono essere suddivisi decomposti in rettangoli e triangoli rettangoli senza punti sull'ipotenusa, dunque il teorema vale per tutti i triangoli rettangoli. Per i triangoli non rettangoli, infine, basta notare che sono ottenibili tramite somme e differenze di figure per cui è già stato dimostrato che la formula vale.

Il secondo punto è stato dimostrato, dunque la tesi iniziale è valida.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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