Teorema di Liouville (meccanica Hamiltoniana)

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In meccanica hamiltoniana il teorema di Liouville stabilisce che nell'evoluzione di un sistema conservativo, la derivata temporale della densità di stati nello spazio delle fasi è nulla, ovvero la densità di stati nello spazio delle fasi si conserva.

Enunciazione rigorosa[modifica | modifica wikitesto]

Dato un sistema meccanico con gradi di libertà, lo spazio delle fasi è uno spazio a dimensioni sui cui assi coordinati si riportano le coordinate generalizzate e gli impulsi generalizzati del sistema meccanico dato. Ciascun punto di questo spazio rappresenta un determinato stato meccanico del sistema. Quando il sistema evolve, il punto fase che rappresenta il suo stato descrive nello spazio delle fasi una curva detta traiettoria di fase.

L'evoluzione dinamica di un sistema meccanico con gradi di libertà definito dalle coordinate generalizzate di posizione e impulso con è determinata dalle equazioni di Hamilton

dove è l'Hamiltoniana del sistema.

Se i punti dello spazio delle fasi che rappresentano configurazioni diverse ma stesso stato macroscopico sono distribuiti in modo regolare, allora si può definire una densità di configurazioni nell'intorno del punto . Il teorema di Liouville stabilisce che la derivata temporale totale di tale densità è nulla. È quindi possibile pensare tali punti rappresentativi come costituenti un fluido (entro lo spazio delle fasi, ben inteso) incomprimibile.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Tenendo conto che nello spazio delle fasi le traiettorie sono percorse con velocità , vale l'equazione di continuità

ovvero

utilizzando ora le equazioni di Hamilton risulta

e quindi in definitiva si ottiene

Considerazioni ulteriori[modifica | modifica wikitesto]

Un altro modo di vedere il teorema di Liouville è il seguente: consideriamo un volume elementare nello spazio delle fasi .

Poiché il numero di stati si conserva, per diversi istanti di tempo e risulta

ovvero in forma differenziale:

e siccome il teorema di Liouville implica che , allora

ovvero gli stati di un sistema occupano, nello spazio delle fasi, volumi sempre uguali, anche se eventualmente distorti a seguito delle curve percorse dai singoli punti.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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