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Teorema di Hahn-Kolmogorov

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In teoria della misura, il teorema di Hahn-Kolmogorov stabilisce che data un'algebra di sottoinsiemi di un insieme X, ed una funzione a valori reali non negativi, nulla sul vuoto, e numerabilmente additiva (nel senso che se l'unione di una famiglia numerabile appartiene ancora all'algebra allora per questa famiglia vale la σ-additività), esiste un'unica misura che la estende alla σ-algebra generata dall'algebra di partenza.

Il primo a dimostrare il teorema fu Fréchet[1], ma la sua dimostrazione non usava il teorema di Carathéodory. La dimostrazione più moderna, qui riportata, è stata scoperta indipendentemente da Hahn[2] e Kolmogorov[3]. Per questo motivo il teorema si può trovare in letteratura sotto il nome di Hahn (da non confondere col teorema di decomposizione di Hahn) o Hahn-Kolmogorov. Spesso, comunque, non viene neanche assegnato un nome, o lo si chiama semplicemente teorema di estensione.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia un'algebra di sottoinsiemi di e una funzione σ-additiva, nel senso che se è una famiglia numerabile di elementi disgiunti di e l'unione di tutti gli sta in allora:

e tale che (si dice che è una premisura, o semplicemente misura se non c'è pericolo di confusione).

Indicata con la σ-algebra generata da , esiste una misura su che estende , cioè tale che ristretta ad è uguale a .

Se è sigma-finita, cioè esiste una famiglia numerabile che ricopre , con per ogni , allora l'estensione è unica.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione si divide in due parti. Nella prima si dimostra l'esistenza costruendo una misura esterna in modo da poter usare il teorema di Carathéodory, e poi si verifica che la misura esterna ristretta ad è uguale a e che gli elementi di sono misurabili. La seconda parte si occupa invece dell'unicità nel caso in cui è σ-finita nel senso indicato nell'enunciato.

Esistenza[modifica | modifica wikitesto]

Misura esterna e teorema di Carathéodory[modifica | modifica wikitesto]

La funzione costruita a partire da è definita come:

e gode delle tre proprietà di una misura esterna (monotonia, subadditività numerabile, assegna 0 al vuoto). Il teorema di Carathéodory fornisce allora uno spazio di misura completo , dove:

è una σ-algebra e è la restrizione di a .

μ* ristretta ad A è uguale a μ0[modifica | modifica wikitesto]

Si vuole dimostrare che per ogni in vale:

dove l'inf è preso su tutte le famiglie numerabili che ricoprono . In particolare, prendendo la famiglia si ha subito:

Sia una famiglia che ricopre . L'idea per ottenere l'altra disuguaglianza è che se si prende la famiglia disgiunta associata si può spezzare sfruttando la σ-additività (sempre nel senso indicato nell'enunciato) di , da lì in poi si tratta di sfruttare semplici maggiorazioni. Si ricorda che ad ogni famiglia è associata una famiglia di insiemi a coppie disgiunti tale che l'unione dei primi n è uguale a quella dei primi n , questo per tutti gli n naturali. Tale famiglia si ottiene ponendo . Per quanto detto l'unione di tutti i contiene , quindi:

dove le diseguaglianze seguono dalla monotonia di . Ora, questo vale per qualsiasi che ricopre , quindi:

M contiene A[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrare che sta in significa dimostrare che:

qualsiasi sia . Per farlo si approssima usando una famiglia che copre , poi con si spezza l'approssimazione invece che , così da poter usare l'additività di . Nel dettaglio, per ogni esiste una famiglia che copre e tale che:

dove l'uguaglianza si ottiene scrivendo come e usando l'additività di , mentre la seconda disuguaglianza si ottiene notando che è un ricoprimento di , e analogamente per . Si nota che essendo arbitrario:

L'altra disuguaglianza è regalata dalla subadditività di :

Conclusione[modifica | modifica wikitesto]

Ricapitolando, partendo da si è costruita una misura esterna che ristretta alla σ-algebra è una misura . Si è dimostrato che l'algebra è contenuta in e che sugli elementi di si comporta come la premisura da cui si era partiti. Per concludere la prima parte del teorema si nota che essendo la più piccola σ-algebra contenente , ed , si ha . Se con abuso di notazione si continua a denotare con la misura su ristretta ad , lo spazio di misura è, per quanto detto, quello cercato.

In generale, mentre è completo (fa parte della tesi del teorema di Carathéodory), lo spazio può benissimo non esserlo (un esempio noto si ha quando è la σ-algebra dei boreliani di e è la misura di Lebesgue).

Unicità[modifica | modifica wikitesto]

In questa parte si suppone che sia σ-finita nel senso indicato nell'enunciato. Sia una misura su che estende , mentre si continua ad indicare con la misura, sempre su , costruita sopra. Per dimostrare che sono uguali si comincia usando la σ-finitezza per restringersi a lavorare in uno spazio di misura finita. Sia una famiglia di insiemi di misura finita la cui unione è . Si può supporre che gli siano a coppie disgiunti (al limite basta prendere la famiglia con al posto di ). Le due misure danno lo stesso valore ad un insieme misurabile se e solo se concordano su tutte le intersezioni , perché in questo caso sarebbe:

Ci si è ridotti a dover dimostrare che se ha misura finita e è contenuto in , allora . Per confrontare le due misure, si consideri una famiglia che ricopre . Si ha:

da cui:

e quindi perché la disuguaglianza vale per tutte le famiglie che coprono e è l'inf dei termini di destra. Ma vale anche . Ricordando che sta in e spezzandolo come si conclude:

cioè:

da cui:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ M. Fréchet, Sur l'intégrale d'une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait, Bull. Soc. Math. France, 43 (1915), 248-265
  2. ^ H. Hahn, Über die multiplikation total-additiver mengefunktionen, Annali Scuola Norm. Sup. Pisa, 2 (1933), 429-452
  3. ^ A. N. Kolmogorov, Grundbegriffe der Grundbegriffe der wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer-Verlag, Berlin (1933)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Vladimir Bogachev, Measure theory, volume 1, Springer, 2006, ISBN 3-540-34513-2.
  • (EN) Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley-Interscience, 1999, ISBN 0-471-31716-0.
  • (EN) Serge Lang, Real and Functional Analysis, Springer, 1993, ISBN 0-387-94001-4.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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