Teorema di Gelfond

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Il teorema di Gelfond è un teorema provato nel 1934 dal matematico Aleksander Gelfond. Esso risolve il settimo problema di Hilbert.

Il teorema afferma che dati due numeri a algebrico diverso da 0 e da 1 e b non razionale e algebrico, è trascendente, cioè non è la radice di nessun polinomio a coefficienti interi. Per esempio il teorema afferma la trascendenza di numeri come , , ma anche (essendo i algebrico e "non razionale") di o di .

Il caso in cui b sia irrazionale e trascendente non è ancora risolto e ancora non sappiamo se , o siano trascendenti. Curiosamente però sappiamo in base al teorema di Gelfond che (nota come costante di Gelfond) è trascendente.

Infatti essendo abbiamo che

ma essendo trascendente in base al teorema di Gelfond deve anch'esso esserlo.

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