Teorema di Gauss-Lucas

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In analisi complessa, una branca della matematica, il teorema di Gauss–Lucas fornisce un relazione geometrica tra le radici di un polinomio e le radici della sua derivata . L'insieme delle radici di un polinomio reale o complesso è un insieme di punti nel piano complesso. Il teorema afferma che le radici di giacciono tutte all'interno dell'inviluppo convesso delle radici di , cioè il più piccolo poligono convesso che contiene le radici di . Quando ha una radice singola allora il suo inviluppo convesso è un solo punto, mentre quando gli zeri giacciono su una retta allora l'inviluppo è un segmento appartenente a tale retta. Il teorema di Gauss–Lucas, che deve il suo nome a Carl Friedrich Gauss e Félix Lucas, è molto simile per certi versi al teorema di Rolle.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia è un polinomio (non costante) a coefficienti complessi, allora tutte le radici di appartengono all'inviluppo convesso dell'insieme degli zeri di . [1]

Casi speciali[modifica | modifica wikitesto]

È facile vedere che se è un polinomio di secondo grado, lo zero di è la media delle radici di . In questo caso, l'inviluppo convesso è il segmento di estremi le due radici ed è evidente che la media degli zeri si trovi nel punto medio di tale segmento. Per un polinomio complesso di terzo grado (funzione cubica) con tre zeri distinti, il teorema di Marden afferma che gli zeri di sono i fuochi dell'inellisse di Steiner, che è l'unico ellisse tangente ai lati del triangolo formato dagli zeri di nei loro punti medi.

Per un polinomio complesso di quarto grado con 4 zeri distinti che formano un quadrilatero concavo, uno degli zeri di giace nell'inviluppo convesso degli altri tre; tutte e tre le radici di giacciono in due dei tre triangoli formati dallo zero interno di e dagli altri due.[2]

Inoltre, se un polinomio di grado a coefficienti reali ha radici distinte , si mostra, usando il teorema di Rolle, che gli zeri del polinomio derivato si trovano nell'intervallo , che è l'inviluppo convesso dell'insieme delle radici.

L'inviluppo convesso delle radici del polinomio in particolare include il punto .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sui numeri complessi, è fattorizzabile in fattori primi

dove i numeri complessi sono le – non necessariamente distinte – radici del polinomio , il numero complesso è il coefficiente direttore di e è il grado del polinomio. Sia un qualunque numero complesso per cui . Allora si ha per la derivata logaritmica

In particolare, se è uno zero di e , allora

,

equivalente a

Si può scrivere come

Prendendo i coniugati, si nota che è una somma pesata con coefficienti positivi che hanno somma uguale a 1, o il baricentro in coordinate affini, dei numeri complessi (con differente contributo assegnato a ciascuna radice e tale che la somma dei pesi sia 1).

Se , allora per qualche , ed è ancora una combinazione convessa delle radici di .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Marden (1966), Theorem (6,1).
  2. ^ A. Rüdinger, Strengthening the Gauss–Lucas theorem for polynomials with Zeros in the interior of the convex hull, 2014, Preprint, arXiv:1405.0689.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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