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Teorema dell'infinità dei numeri primi

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Il teorema dell'infinità dei numeri primi afferma che, per quanto grande si scelga un numero naturale n, esiste sempre un numero primo maggiore di n.

È stato dimostrato per la prima volta da Euclide nei suoi Elementi (libro IX, proposizione 20), ma ne sono state trovate molte altre dimostrazioni, che usano una gran varietà di tecniche diverse: ad esempio Eulero lo ricavò dalla divergenza della serie armonica e dalla possibilità di scrivere ogni numero come prodotto di numeri primi; Christian Goldbach usò i numeri di Fermat, mentre Harry Furstenberg ne ideò una che sfrutta i metodi della topologia.[1]

Alcune di queste (quella di Euclide, di Goldbach e un'altra che usa i numeri di Mersenne) si basano su una strategia simile, ovvero dimostrare che esiste una successione infinita di numeri che sono a due a due coprimi, da cui segue necessariamente l'infinità dei numeri primi.

Dimostrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione di Euclide[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione, molto semplice in termini moderni, è esposta negli Elementi di Euclide e può a buon diritto essere considerata la prima dimostrazione di un teorema di teoria dei numeri.

La dimostrazione avviene per assurdo, con il seguente ragionamento:

Si supponga che i numeri primi non siano infiniti ma solo {\textstyle P=\{2,3,\dots,p_n\}}; p_n sarebbe allora il più grande dei numeri primi. Sia {\textstyle a\in\mathbb{N}} il prodotto degli n numeri primi, a+1 non è divisibile per 2, perché lo è {\textstyle a} e quindi ha resto 1. Non è divisibile per 3, per lo stesso motivo. In generale, detto p_i l'i-esimo numero primo, la divisione {\textstyle \frac{a+1}{p_i}} ha sempre resto 1: assumendo {\textstyle (a+1)} come dividendo, p_i come divisore, {\textstyle q\in\mathbb{N}} come quoziente della divisione, è sufficiente dimostrare che {\textstyle (a+1)-(q\cdot p_i)=1}, cioè che a=(q\cdot p_i) assunto come ipotesi.

A questo punto, per il teorema fondamentale dell'aritmetica, sono possibili due casi:

  1. a+1 è primo, e ovviamente essendo maggiore di p_n quest'ultimo non è il più grande dei numeri primi;
  2. a+1, non essendo primo, è il prodotto di numeri primi che non possono figurare tra gli n ipotizzati (in quanto, come abbiamo appena mostrato, nessun p_i divide {\textstyle (a+1)}) e che devono quindi essere maggiori di p_n; anche in questo caso segue che p_n non è il più grande dei numeri primi.

In entrambi i casi si perviene alla conclusione che non può non esistere un numero primo più grande p_n, dunque i numeri primi sono infiniti.

In realtà solo pochi dei numeri a+1 (detti numeri di Euclide) così trovati sono primi, perché il divario tra p_n e a cresce circa come il fattoriale, e quindi c'è sempre più possibilità che a+1 abbia un divisore tra p_n e \sqrt{a+1}.

Una conseguenza immediata di questa dimostrazione è la seguente disuguaglianza:

{\displaystyle p_{n+1} < p_1 p_2 \cdots p_n }

La disuguaglianza di Bonse e le sue generalizzazioni forniscono risultati più forti.

Corollario[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: primo fattoriale.

Un interessante corollario, che è evidente rigirando la dimostrazione, è che esiste un intervallo, grande a piacere, tra successivi numeri primi. Infatti se vogliamo avere un intervallo di 99 numeri consecutivi senza primi, ad esempio, prendiamo il fattoriale di 100, ossia {\textstyle 100! }. Questo numero, enorme, è divisibile per tutti i numeri tra 2 e 100. Se chiamiamo k uno di questi numeri, {\textstyle 100! } e {\textstyle 100!+k } sono entrambi divisibili per k. Abbiamo quindi 99 numeri consecutivi senza primi, da {\textstyle 100!+2 } a {\textstyle 100!+100 }.

Dimostrazione di Eulero[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione di Eulero parte dal fatto che la serie armonica:

S = 1+\frac 1 2 + \frac 1 3 + ... +\frac 1 n +...

è divergente.

Eulero osserva che la serie armonica può vedersi come il prodotto di queste serie geometriche, una per ogni numero primo:

S_2 =  1+\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 +... +\frac 1 {2^n} ... = 2

S_3 =  1+\frac 1 3 + \frac 1 9 + \frac 1 {27} +... +\frac 1 {3^n} ... = \frac 3 2

S_5 =  1+\frac 1 5 + \frac 1 {25} + \frac 1 {125} +... +\frac 1 {5^n} ... = \frac 5 4

...

Le serie si calcolano facilmente ricordando che S_n = \frac 1 {1 - \frac 1 n} (vedi serie geometrica)

Infatti la serie armonica è la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali e ogni numero naturale può rappresentarsi come il prodotto dei suoi fattori primi. Ci si convince allora facilmente che ogni elemento della serie armonica corrisponde a un possibile prodotto di elementi presi uno ad uno dalle serie suddette. Per esempio per l'elemento 1/15:

 \frac 1 {15} = 1 \times \frac 1 3 \times \frac 1 5 \times 1 \times 1 ...

D'altra parte le serie S_2, S_3, S_5, S_7 ... sono tutte finite. Ma allora se i numeri primi fossero finiti, il loro prodotto sarebbe anch'esso finito, mentre sappiamo che la serie armonica diverge.

Ne segue che i numeri primi devono essere infiniti.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Harry Furstenberg, On the infinitude of primes in Amer. Math. Monthly, vol. 62, nº 5, 1955, p. 353, DOI:10.2307/2307043.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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