Tempo di arresto

Nella teoria della probabilità, in particolare nello studio dei processi stocastici, un tempo di arresto, conosciuto anche come tempo di Markov, è uno specifico tipo di "tempo casuale", il cui valore dipende solo dagli eventi successi prima o nell'istante stesso. Ad esso può essere associato una regola di arresto, ovvero una regola per definire il tempo d'arresto.

Uno dei risultati più importanti sui tempi di arresto è il teorema di arresto opzionale di Doob.

Definizione

Rispetto a una sequenza di variabili aleatorie $X_{1},X_{2},\ldots$ un tempo di arresto $T$ è una variabile aleatoria con la proprietà che per ogni $t$ l'evento $\{T=t\}$ dipende solo dalle variabili $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{t}$.

Una definizione più generale può essere data attraverso le filtrazioni: sia $I$ un insieme ordinato (ad esempio $I=\mathbb {N}$ oppure $I=[0,+\infty )$) e sia $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} )$ uno spazio di probabilità con filtrazione ${\mathcal {F}}_{t}$. Allora una variabile casuale $T$ su $\Omega$ è detta tempo di arresto se $\{T\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}$ per ogni t in $I$.

In altre parole, è possibile decidere se l'evento $\{T\leq t\}$ è accaduto conoscendo gli eventi in ${\mathcal {F}}_{t}$: si dice che $\{T\leq t\}$ è ${\mathcal {F}}_{t}$-misurabile.

La definizione può anche richiedere che $P\{T<\infty \}=1$, ovvero che $T$ sia quasi certamente finito, ma in alcuni casi questa condizione viene omessa.

Proprietà

Sono equivalenti i seguenti fatti:

1. $T$ è un tempo di arresto
2. l'evento $\{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\forall {t\in I}$
3. l'evento $\{T>t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\forall {t\in I}$

Dimostrazione

(1) implica (3) e (3) implica (1)

L'evento $\{T>t\}$ è pari al complementare di $\{T\leq t\}$per ogni $t$ appartenente a $I$, ossia $\{T>t\}=\{T\leq t\}^{c},\forall {t\in I}$.

(1) implica (2)

Dato che $T$ è un tempo di arresto si ha che $\{T=t\}={\begin{cases}\{T\leq t\}{\text{ se }}t=\min {(I)}\\\{T\leq t\}-\{T\leq t-1\}{\text{ altrimenti}}\end{cases}}$

(2) implica (1)

L'evento $\{T\leq t\}$ può essere visto come l'unione di tutti gli eventi $\{T=s\}$ per ogni $s\leq t$, ossia $\{T\leq t\}=\bigcup _{s\in I,s\leq t}\{T=s\}$. Considerando che $\{T=s\}$ appartiene a ${\mathcal {F}}_{s}$ e ${\mathcal {F}}_{s}$ appartiene a ${\mathcal {F}}_{t}$, in quanto $s\leq t$, si può dedurre che tutta l'unione degli eventi appartiene a ${\mathcal {F}}_{t}$.

Istante aleatorio

Se $T$ è un tempo di arresto rispetto alla filtrazione ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}$ si può definire l'evento $\{T=+\infty \}$ come l'intersezione di tutti gli eventi $\{T>t\}$, per ogni $t$, ossia $\{T=+\infty \}=\bigcap _{t\in I}\{T>t\}$. Per la proprietà (1) dei tempi di arresto si ha che l'evento $\{T>t\}$ appartiene a ${\mathcal {F}}_{t}$ e quindi l'intersezione su tutti i $t$ appartiene all'or logico su tutta la filtrazione, ossia $\bigvee _{t\in I}{\mathcal {F}}_{t}$, data dalla $\sigma$-algebra generata dall'unione della filtrazione. Pertanto si definisce la tribù ${\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma {\Bigl (}\bigcup _{t\in I}{\mathcal {F}}_{t}{\Bigr )}=\bigvee _{t\in I}{\mathcal {F}}_{t}$ con $I=\mathbb {N}$.

Si definisce la tribù ${\mathcal {F}}_{T}=\{A\in {\mathcal {F}}_{\infty }:A\cap \{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\forall {t\in I}\}$, che rappresenta l'informazione disponibile ad ogni tempo $t$. Se $(X_{t})_{t\in I}$ è un processo stocastico reale e $T$ una variabile aleatoria discreta dallo spazio $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ a valori in $I\cup \{+\infty \}$è possibile definire la variabile aleatoria reale $X_{T}$, che assume il valore del processo all'istante aleatorio $T$, come la somma di tutte le $X_{t}$ quando $\{T=t\}$ più un valore $x\in \mathbb {R}$ quando $\{T=+\infty \}$, ossia $X_{T}=\sum _{t\in I}X_{t}\mathrm {I} _{\{T=t\}}+x\mathrm {I} _{\{T=+\infty \}}$, dove $\mathrm {I} _{E}$ è la funzione indicatrice dell'evento $E$.

Criterio di misurabilità ad un istante aleatorio

Se il processo $(X_{t})_{t\in I}$ è adattato alla filtrazione ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}$ e $T$ è un tempo di arresto rispetto a ${\mathcal {F}}$, allora il valore del processo all'istante aleatorio $T$ è ${\mathcal {F}}_{T}$-misurabile. In altre parole la variabile aleatoria $X_{T}$ è misurabile rispetto alla tribù ${\mathcal {F}}_{T}$.

Dimostrazione

Per definizione di valore ad un istante aleatorio si ha che $X_{T}=\sum _{t\in I}X_{t}\mathrm {I} _{\{T=t\}}+x\mathrm {I} _{\{T=+\infty \}}$. Dato che $(X_{t})_{t}$ è adattato rispetto a ${\mathcal {F}}$ si ha che ogni $X_{t}$ è ${\mathcal {F}}_{t}$-misurabile. Essendo $T$ un tempo di arresto anche la funzione indicatrice dell'evento $\{T=t\}$ è ${\mathcal {F}}_{t}$-misurabile, mentre la funzione indicatrice dell'evento $\{T=+\infty \}$ è misurabile rispetto alla tribù ${\mathcal {F}}_{\infty }$. Pertanto tutta la somma è misurabile rispetto a ${\mathcal {F}}_{\infty }$ e quindi per ogni $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\Rightarrow \{X_{T}\in B\}\in {\mathcal {F}}_{\infty }$. In altre parole per ogni boreliano ${\mathcal {B}}$ della retta reale, l'evento che il valore del processo arrestato al tempo aleatorio $T$ appartenga a ${\mathcal {B}}$ è misurabile rispetto a ${\mathcal {F}}_{\infty }$.

L'evento $\{X_{T}\in B\}\cap \{T=t\}$ è pari all'evento $\{X_{t}\in B\}\cap \{T=t\}$, in quanto $T=t$. Avendo che $\{X_{t}\in B\}\in {\mathcal {F}}_{t}$ in quanto il processo $(X_{t})_{t\in I}$ è adattato rispetto alla filtrazione e $\{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t}$ in quanto $T$ è un tempo di arresto rispetto alla filtrazione, anche l'evento intersezione è ${\mathcal {F}}_{t}$-misurabile.

Pertanto $\{X_{t}\in B\}\cap \{T=t\}\in {\mathcal {F}}_{t}\Longrightarrow \{X_{T}\in B\}\in {\mathcal {F}}_{T}$, ossia $X_{T}$ è ${\mathcal {F}}_{T}$-misurabile.

Processo stocastico arrestato ad un tempo aleatorio

Se $X=(X_{t})_{t\in I}$ è un processo stocastico reale adattato ad una filtrazione ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}$ e $T$ è un tempo di arresto rispetto a ${\mathcal {F}}$, si chiama il processo arrestato al tempo $T$, il processo così definito: $X^{|T}=(X_{T\land t})_{t\in I}$ , dove $X_{T\land t}={\begin{cases}X_{t}{\text{ se }}T>t\\X_{T}{\text{ se }}T\leq t\end{cases}}$

Il processo arrestato ad un istante aleatorio assume quindi gli stessi valori del processo stocastico originario, per tutti gli istanti inferiori al tempo di arresto, mentre per gli istanti maggiori è pari al valore del processo al tempo di arresto.

Esempio

Dato un processo $X=(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{6},\ldots ,X_{n},X_{n+1},X_{n+2},\ldots )$e un tempo di arresto $T=5$, il processo relativo arrestato $X^{|T}$ è definito dai valori delle variabili aleatorie di $X$ negli istanti da $1$ a $5$, mentre dall'istante $6$ in poi assume sempre il valore di $X_{5}$.

$X^{|T}=(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{5},X_{5},\ldots ,X_{5},X_{5},\ldots )$

Misurabilità di un processo arrestato

Dato che $X^{|T}$ è un processo derivato da $X=(X_{t})_{t\in I}$ e $X$ è adattato rispetto alla filtrazione ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F_{t}}})_{t\in I}$, anche $X^{|T}$ è misurabile rispetto a ${\mathcal {F}}$. Infatti $X_{T\land t}$ sono misurabili rispetto a ${\mathcal {F}}_{T\land t}$, per ogni $t\in I$ e la tribù ${\mathcal {F}}_{T\land t}$ è più piccola o al più uguale a quella di ${\mathcal {F}}_{t}$ in quanto $T\land t\leq t$. Quindi anche $X^{|T}$ è adattato rispetto a ${\mathcal {F}}$.

Esempi

Se consideriamo il caso di due persone che giocano a testa e croce, vincendo o perdendo 1 euro (passeggiata aleatoria simmetrica su $\mathbb {Z}$) e con un capitale finito, si possono definire le seguenti regole di arresto:

• Fermarsi dopo una giocata o un certo numero di giocate, ovvero nel caso in cui $\tau$ sia un tempo deterministico, è una regola d'arresto.
• Fermarsi quando uno dei due finisce i soldi è una regola di arresto.
• Fermarsi quando uno raggiunge il massimo di vincite non è una regola di arresto, siccome presuppone di conoscere anche le scommesse successive.
• Fermarsi quando uno raddoppia il proprio capitale, se si richiede che il tempo di arresto sia quasi certamente finito, non è una regola di arresto, in quanto c'è una probabilità positiva che questo non accada.

Bibliografia

• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991, ISBN 978-0-521-40605-5.