Limite notevole

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
(Reindirizzamento da Tavola dei limiti notevoli)

Sono qui presentati alcuni limiti notevoli utilizzati per una risoluzione più veloce di limiti che possono sembrare poco immediati. Tali limiti sono anche usati nell'applicazione del principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti.

Razionale[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione

Mettendo in evidenza la massima potenza del numeratore () e del denominatore () si ha

Quindi tutti i termini relativi ai coefficienti diversi da e danno un contributo nullo al limite per , quindi

.

Potenza[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione

Poiché si tratta di una forma indeterminata e sia la funzione al numeratore che quella al denominatore sono continue e derivabili su , inoltre la derivata di è (quindi diversa da in ), si può applicare la regola di de l'Hôpital ottenendo così

Trigonometrici[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione

Dato che è una funzione pari, è sufficiente considerare il caso x>0; inoltre, si può supporre . Per tali valori di x si ha

che, considerando i reciproci, implica

Moltiplicando per sin x si ottiene

Quindi, dato che cos x tende all'unità per x che tende a zero, per il teorema del confronto il limite in mezzo dovrà avere lo stesso valore degli altri due.

Dimostrazione

Facendo un cambio di variabile si ottiene che

Dimostrazione

Sfruttando la relazione fondamentale del seno e coseno il limite diventa

Il primo termine tende a 1, il secondo termine tende a 0, quindi

Quindi il limite di partenza tende a 0

Dimostrazione

Moltiplicando il denominatore e il numeratore per abbiamo che:

Ma poiché :

Quindi

Dimostrazione

Scriviamo la tangente sfruttando la sua definizione di rapporto tra seno e coseno dell'angolo:

Dimostrazione

Per dimostrare il limite si utilizza la sostituzione di variabile: si pone : (e di conseguenza si ha ) ottenendo così:

La dimostrazione di questo limite è analoga alla precedente.

Esponenziali e logaritmi[modifica | modifica wikitesto]









Dimostrazione

Poiché la successione converge a si ha che

quindi per il teorema di collegamento tra le successioni e le funzioni, considerando la funzione , con , si ha che

Inoltre per calcolare

si ponga (quindi per ) pertanto

e ponendo (quindi per ) si ha

.
Dimostrazione

Ponendo (quindi per ) si ha

.
Dimostrazione

e ponendo (quindi per ) si ha

Dimostrazione

Si ponga . Per si ha e per si ha . Pertanto, considerando separatamente i due limiti, si ha

.
.

Quindi

.
Dimostrazione

Per le proprietà dei logaritmi

.

Ricordando che , ponendo (quindi per ) e applicando il teorema sul limite di una funzione composta si ha

.

Ricordando inoltre la formula del cambiamento di base dei logaritmi, si può passare alla base naturale ()

.

Deriva direttamente dal limite precedente sostituiendo con (quindi diventa e ).

Dimostrazione

Si ponga , quindi . Inoltre per , risulta . Pertanto

e ricordando che si ha che

.


Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica