Strappo (cinematica)

In meccanica classica, si definisce strappo (in inglese americano jerk o in inglese britannico jolt), indicato con ${\vec {j}}$, la derivata dell'accelerazione rispetto al tempo, ovvero la derivata di terzo ordine del vettore posizione rispetto al tempo. Il calcolo dello strappo si utilizza, ad esempio, per la progettazione dei profili delle camme oppure per lo studio della penetrazione di fluidi.

Descrizione

La formula dello strappo è

${\vec {j}}={\frac {d{\vec {a}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {v}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {r}}}{dt^{3}}}$

dove ${\vec {a}}$ è l'accelerazione, ${\vec {v}}$ è la velocità, ${\vec {r}}$ è il vettore posizione, mentre $t$ rappresenta il tempo. Nel SI la sua unità di misura è il $[m/s^{3}]$. La legge oraria per il moto con strappo costante (posto $t_{0}=0$) è:

${\vec {s}}(t)={\vec {s}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {j}}t^{3}$

Esiste inoltre lo strappo angolare, comunemente indicato con ${\vec {\zeta }}$ o ${\ddot {\omega }}$, che consiste nella derivata dell'accelerazione angolare rispetto al tempo, o la derivata di terzo ordine dell'angolo di rotazione rispetto al tempo:

${\vec {\zeta }}={\frac {d{\vec {\alpha }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\omega }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\theta }}}{dt^{3}}}$

la cui unità di misura nel SI è $[rad/s^{3}]$.

Strattone

Se nel sistema in esame la massa è costante, lo strappo è direttamente proporzionale allo strattone ${\vec {Y}}$ (in inglese yank), il quale rappresenta la derivata temporale della forza:

${\begin{aligned}&{\vec {F}}=m{\vec {a}}\\&{\frac {d{\vec {F}}}{dt}}=m{\frac {d{\vec {a}}}{dt}}\\&{\vec {Y}}=m{\vec {j}}\\\end{aligned}}$

Nel caso in cui la massa dipendesse dal tempo, allora l'equazione diventa:

${\vec {Y}}={\frac {d^{2}{\vec {p}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}(m{\vec {v}})}{dt^{2}}}=m{\frac {d^{2}{\vec {v}}}{dt^{2}}}+{\vec {v}}{\frac {d^{2}m}{dt^{2}}}+2{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}{\frac {dm}{dt}}=m{\vec {j}}+{\vec {v}}{\frac {d^{2}m}{dt^{2}}}+2{\vec {a}}{\frac {dm}{dt}}$

Bibliografia

• Sprott JC, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press, 2003, ISBN 0-19-850839-5.
• Sprott JC, Some simple chaotic jerk functions (PDF), in Am J Phys, vol. 65, n. 6, 1997, pp. 537–43, Bibcode:1997AmJPh..65..537S, DOI:10.1119/1.18585. URL consultato il 28 settembre 2009.
• Blair G, Making the Cam (PDF), in Race Engine Technology, n. 010, 2005. URL consultato il 29 settembre 2009.

Collegamenti esterni

• Cosmography: cosmology without the Einstein equations, Matt Visser, School of Mathematics, Statistics and Computer Science, Victoria University of Wellington, 2004.