Sogno del sophomore

Nella matematica, il "sogno del sophomore" è la coppia di identità (specialmente la prima)

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\\\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{aligned}}$

scoperte nel 1697 da Johann Bernoulli.

I valori numerici di queste costanti sono approssimativamente $1.291285997...$ e $0.7834305107...$, rispettivamente.

Il nome "sogno del sophomore", che appare in Borwein, Bailey & Girgensohn (2004), è in contrasto con il nome "sogno della matricola" che è assegnato alla identità errata $(x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}$. Il sogno del sophomore sembra "troppo bello per essere vero", ma in realtà lo è.

Dimostrazione

Grafici delle funzioni $y=x^{x}$ (rosso, in basso) e $y=x^{-x}$ (grigio, in alto) nell'intervallo $(0,1]$.

Le dimostrazioni delle due identità sono simili, quindi qui si dimostrerà soltanto la seconda. I passi chiave della dimostrazione sono:

• scrivere $x^{x}=\exp(x\log x)$ (utilizzando la notazione $\exp(t)$ per la funzione esponenziale $e^{t}$ in base e);
• espandere $\exp(x\log x)$ utilizzando la serie di potenze dell'esponenziale; e
• integrare termine a termine, usando l'integrazione per sostituzione.

In dettaglio, si espande $x^{x}$ come

$x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}.$

Pertanto, $\int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.$

Per la convergenza uniforme della serie di potenze, si può scambiare la sommatoria con l'integrale e ricavare

$\int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.$

Per valutare gli integrali sopra, si può cambiare la variabile utilizzando la sostituzione $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$. Con questo cambio di variabile, gli estremi d'integrazioni diventano $0<u<\infty$, fornendo l'identità

$\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du.$

Secondo l'identità integrale di Eulero per la funzione Gamma, si ha

$\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du=n!,$

in modo che

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.$

Sommando (e cambiando indice in modo che inizi in $n=1$ invece di $n=0$), si ricava l'identità.

Dimostrazione storica

La dimostrazione originale, fornita in Bernoulli (1697), e presentata nella forma moderna in Dunham (2005), differisce da quella sopra per come è calcolato l'integrale termine a termine $\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx$, ma è tuttavia la stessa, omettendo dettagli tecnici per giustificare i passaggi (come l'integrazione). Invece di operare un cambio di variabile, ottenendo la funzione Gamma (che non era ancora conosciuta), Bernoulli usò l'integrazione per parti per calcolare iterativamente i termini.

L'integrazione per parti procede come segue, variando indipendentemente i due esponenti per ottenere una formula ricorsiva. Si calcola inizialmente un integrale indefinito, omettendo la costante d'integrazione $+C$ sia perché storicamente fu così, sia perché sparisce quando si valuta l'integrale definito. Si può integrare $\scriptstyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx$ prendendo $u=(\ln x)^{n}$ e $dv=x^{m}dx$, da cui si ricava:

${\begin{aligned}\int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx&={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m+1}{\frac {(\ln x)^{n-1}}{x}}\,dx\qquad {\text{(for }}m\neq -1{\text{)}}\\&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}(\ln x)^{n}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}\,dx\qquad {\text{(for }}m\neq -1{\text{)}}\end{aligned}}$

(anche nella Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche). Questo metodo riduce di $1$ la potenza del logaritmo nell'integrando e così si può calcolare l'integrale induttivamente, ottenendo

$\int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(m+1)^{i}}}(\ln x)^{n-i}$

dove $(n)_{i}$ indica il fattoriale decrescente; compare una somma finita perché l'induzione si ferma in $0$, dal momento che $n$ è un intero.

In questo caso $m=n$, e sono interi, perciò

$\int x^{n}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(n+1)^{i}}}(\ln x)^{n-i}.$

Integrando da $0$ a $1$, tutti i termini si annullano eccetto l'ultimo in $1$, si ottiene:

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}\,dx={\frac {1}{n!}}{\frac {1^{n+1}}{n+1}}(-1)^{n}{\frac {(n)_{n}}{(n+1)^{n}}}=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.$

Da un punto di vista moderno, questo è (a meno di una costante moltiplicativa) al calcolare l'identità integrale di Eulero $\Gamma (n+1)=n!$ per la funzione Gamma in un differente dominio (corrispondente al cambiare la variabile), poiché quest'ultima può essere essa stessa calcolato attraverso ripetute integrazioni per parti.

Bibliografia

Formula

• Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
• Jonathan Borwein, David H. Bailey e Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery, 2004, pp. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9.
• William Dunham, 3: The Bernoullis (Johann and $x^{x}$), in The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, 2005, pp. 46–51, ISBN 978-0-691-09565-3.
• OEIS, (successione A083648 in OEIS) e (successione A073009 in OEIS)
• Weisstein, Eric W. "Sophomore's Dream". MathWorld.
• Max R. P. Grossmann (2017): Sophomore's dream. 1,000,000 cifre della prima costante

Funzione x^x

• Literature for x^x and Sophomore's Dream, Tetration Forum, 03/02/2010
• The Coupled Exponential, Jay A. Fantini, Gilbert C. Kloepfer, 1998
• Sophomore's Dream Function, Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.
• D. H. Lehmer, Numbers associated with Stirling numbers and x^x, in Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 15, 1985, p. 461, DOI:10.1216/RMJ-1985-15-2-461.
• H. W. Gould, A Set of Polynomials Associated with the Higher Derivatives of y = x^x, in Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 26, 1996, p. 615, DOI:10.1216/rmjm/1181072076.

Voci correlate

• Serie (matematica)
• Serie di potenze
• Funzione Gamma
• Integrazione per parti