Assioma di separazione

Uno spazio topologico è un oggetto matematico molto generico, che può modellizzare tutti gli oggetti contenuti nello spazio euclideo, gli spazi metrici, e la maggior parte degli spazi di funzioni. Molti teoremi sugli spazi topologici necessitano di alcune ipotesi minime, che sono soddisfatte negli spazi metrici o euclidei. Queste ipotesi sono gli assiomi di separazione: questi chiedono generalmente che la topologia sia sufficientemente ricca da distinguere punti ed eventualmente chiusi disgiunti.

Assiomi

I principali assiomi di separazione sono indicati con la lettera "T" seguita da un numero progressivo. La lettera "T" viene dal tedesco "Trennung", che vuol dire proprio separazione.

Sia X uno spazio topologico. La lista di assiomi è la seguente.

• X è T₀ se per ogni coppia di punti x e y di X esiste un aperto U che contiene x e non contiene y, o viceversa (in altre parole, la topologia distingue i punti).
• X è T₁ se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V tali che U contiene x e non y, mentre V contiene y e non x (equivalentemente: i punti sono chiusi).
• X è T₂ o di Hausdorff se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono, rispettivamente.
• X è regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono, rispettivamente.
• X è T₃ se è T₁ e regolare (implica T₂).
• X è completamente regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esiste una funzione continua a valori reali che vale 0 su F e 1 su x (implica la regolarità).
• X è T_3½ se è T₀ e completamente regolare (implica T₃).
• X è normale se per ogni coppia di chiusi disgiunti F e G esistono due aperti disgiunti U e V che li contengono rispettivamente (implica la completa regolarità).
• X è T₄ se è T₁ e normale (implica T_3½).

L'ipotesi che lo spazio sia T₀ nelle definizioni di T_3½ e T₁ in quella di T₃ e T₄ fa sì che ciascuno di questi assiomi sia un raffinamento dei precedenti.

Esempi

• Ogni spazio metrico è di Hausdorff e regolare, quindi T₃.
• Uno spazio topologico con la topologia banale è T₀ solo se consta di un punto solo.
• La retta avente come aperti tutte le semirette x>d al variare di d fra i numeri reali è T₀ ma non T₁.
• La topologia cofinita su un insieme infinito di punti è T₁ ma non T₂.
• La topologia di Zariski, di fondamentale importanza in geometria algebrica, generalmente non è T₂.

Voci correlate

• Lemma di Urysohn

Collegamenti esterni

• separazione, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Assioma di separazione, su MathWorld, Wolfram Research.