Differenze tra le versioni di "Numero surreale"

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;'''Regola del confronto''': Per i numeri surreali ''x'' = { ''X<sub>L</sub>'' | ''X<sub>R</sub>'' } e ''y'' = { ''Y<sub>L</sub>'' | ''Y<sub>R</sub>'' } si ha che ''x'' ≤ ''y'' [[se e solo se]] ''y'' non è minore o uguale di alcun numero di ''X<sub>L</sub>'', e nessun membro di ''Y<sub>R</sub>'' è minore o uguale di ''x''.
 
Le due regole sono [[algoritmo ricorsivo|ricorsive]], dunque è necessaria una sorta di [[induzione matematica]] per poterle usare. Un'ovvia candidata sarebbe l'''induzione finita'', che consente di generare tutti i numeri che possono essere costruiti applicando la regola di costruzione un numero finito di volte, ma le cose diventano interessanti se si permette l'uso dell'[[induzione transfinita]]<ref>L'induzione transfinita richiede che non esistano successioni ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ... tali che ''x''<sub>''i''+1</sub> sia una un'opzione di ''x''<sub>''i''</sub> per ogni ''i'' ≥ 0.</ref>, che permette di applicare la regola infinite volte. Se si vuole che i numeri generati rappresentino effettivamente dei numeri, allora l'ordinamento che viene definito su essi deve essere un [[ordine totale]]. Però la relazione ≤ definisce soltanto un [[preordine|preordinamento]] totale, e cioè non è [[relazione antisimmetrica|antisimmetrica]]. Per rimediare a questo fatto si definisce la [[relazione binaria]] == sui numeri surreali che vengono generati in modo tale che
 
: ''x'' == ''y'' [[Se e solo se|sse]] ''x'' ≤ ''y'' e ''y'' ≤ ''x''.
Un gioco composto da giochi più piccoli viene detto la [[somma disgiunta]] di quei giochi più piccoli, e il teorema afferma che il metodo di addizione definito prima è equivalente a prendere la somma disgiunta degli addendi.
 
Storicamente Conway sviluppò la teoria dei numeri surreali in modo inverso a come è stata presentata nel presente articolo. Egli stava analizzando le chiusure nel gioco del Go, e si rese conto che sarebbe stato molto utile avere un qualche sistema per combinare le analisi di sotto-giochi non interagenti in una un'analisi della loro [[somma disgiunta]]. Da queste considerazioni egli inventò il concetto di Gioco e l'operatore di addizione tra essi. In seguito sviluppò la definizione di negazione e confronto. Poi notò che una certa classe di Giochi aveva delle proprietà interessanti: questa classe diventò la classe dei numeri surreali. Infine sviluppò l'operatore di moltiplicazione, e dimostrò che i surreali sono, in effetti, un campo, che include sia i reali che gli ordinali.
 
== Costruzione alternativa ==
* esiste un numero ''z'' tale che ''z'' è più semplice di ''x'', ''z'' è più semplice di ''y'', ''x''(dom(''z'')) = - 1 e ''y''(dom(''z'')) = + 1.
 
Equivalentemente, sia δ(''x'',''y'') = min({ dom(''x''), dom(''y'')} ∪ { α :
α < dom(''x'') ∧ α < dom(''y'') ∧ ''x''(α) ≠ ''y''(α) }),
in modo tale che ''x'' = ''y'' sse δ(''x'',''y'') = dom(''x'') = dom(''y''). Allora, per i numeri ''x'' e ''y'' si ha che ''x'' < ''y'' sse vale una delle seguenti proprietà:
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