Legge di Snell

Rifrazione (θ₁ = 60°)

La legge di Snell, nota anche come legge di Descartes o legge di Snell-Descartes (o legge di Cartesio o legge di Snell-Cartesio), descrive le modalità di rifrazione di un raggio luminoso nella transizione tra due mezzi con indice di rifrazione diverso, e deriva dall'equazione iconale.

Introduzione

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Derivazione

Si consideri l'equazione iconale nella forma:

${\frac {\partial }{\partial x}}(n{\hat {s}})-{\frac {\partial n}{\partial x}}{\hat {r}}={\vec {0}}$

dove x è la ascissa curvilinea lungo il cammino ottico, n è l'indice di rifrazione e ${\hat {s}}$ il versore del raggio ottico ed effettuando il prodotto vettoriale per il versore ${\hat {r}}$ della posizione si ottiene:

${\hat {r}}\times {\frac {\partial }{\partial x}}(n{\hat {s}})={\vec {0}}$

dato che la derivata è un operatore lineare, si può trasportare dentro nel modo più semplice il prodotto vettoriale:

${\frac {\partial }{\partial x}}({\hat {r}}\times (n{\hat {s}}))={\vec {0}}$

si arriva quindi alla legge di Snell:

${\frac {\partial }{\partial x}}(n{\hat {r}}\times {\hat {s}})={\vec {0}}$

che si esprime nella forma più comune chiamando θ l'angolo fra la direzione della posizione e quella del raggio ottico:

${\frac {\partial }{\partial x}}(n\sin \theta )=0$

e considerando il fatto che la derivata parziale nulla equivale a un argomento costante rispetto alla variabile di derivazione:

$n\sin \theta =cost(x)$

Mezzo uniforme

Il caso più semplice è quello in cui l'indice di rifrazione è uniforme lungo l'ascissa curvilinea:

$n=cost(x)$

In questo caso si vede immediatamente che la traiettoria del raggio risulta rettilinea, con inclinazione uniforme:

$\theta =cost(x)$

Mezzo sferico

Nel caso invece l'indice di rifrazione sia lineare con l'ascissa curvilinea:

$n(x)=cost(x)x$

il raggio risulta inclinato in ogni punto della sua traiettoria con legge:

$\theta (x)=\sin ^{-1}\left({\frac {cost}{x}}\right)$

questa comporta uno smorzamento della deviazione lungo la traiettoria: col limite all'infinito si vede che l'inclinazione asintotica risulta nulla, qualunque sia l'inclinazione iniziale:

$\theta _{\infty }=\sin ^{-1}0=0$

quindi questo mezzo riesce ad allineare dei raggi ottici con qualsiasi direzione iniziale, anche se sempre in modo incompleto poiché fisicamente non può essere realizzato con un'estensione infinita, con efficienza proporzionale al cammino ottico e all'intensità dell'indice di rifrazione.

Riflessione interna totale

L'angolo di incidenza del raggio blu θ₂ è maggiore dell'angolo critico: il raggio di luce viene riflesso. Il fenomeno viene chiamato riflessione interna totale e comporta una perdita di raggio nulla.

Nel passaggio da un mezzo più denso a uno meno denso (ovvero, n₁ > n₂) si può verificare facilmente che l'equazione $n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$ sia priva di soluzioni quando θ₁ supera un valore che viene chiamato angolo critico:

$\theta _{\mathrm {crit} }=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)$

Quando θ₁ > θ_crit non appare alcun raggio rifratto: la luce incidente subisce una riflessione interna totale ad opera dell'interfaccia. Si genera un'onda di superficie, o onda evanescente (leaky wave), che decade esponenzialmente all'interno del mezzo con indice di rifrazione n₂.

Esempio di riflessione interna totale

Forma vettoriale

Dal versore s del raggio luminoso incidente, e il versore p, normale all'interfaccia, è possibile ricavare i versori associati al raggio riflesso e rifratto:

$\cos \theta _{1}={\hat {s}}\cdot {\hat {p}}$

$\cos \theta _{2}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}$

${\hat {s}}_{\mathrm {riflesso} }={\hat {s}}-\left(2\cos \theta _{1}\right){\hat {p}}$

${\hat {s}}_{\mathrm {rifratto} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\hat {s}}+\left(\cos \theta _{2}-{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}\right){\hat {p}}$

Brachistocrona

La legge di Snell può essere legata al Principio di Fermat:

"il percorso fra due punti preso da un raggio di luce è quello che è attraversato nel minor tempo".

Infatti si può verificare che il cammino seguito dalla luce è un punto stazionario per il cammino ottico, vale a dire che in corrispondenza di esso la derivata del cammino ottico si annulla. In alternativa, la relazione può essere ottenuta considerando l'interferenza di tutti i possibili percorsi che l'onda di luce può percorrere dalla sorgente all'osservatore - risulta che l'interferenza è distruttiva ovunque, eccetto che negli estremi di fase (dove è costruttiva) - che diventa il percorso effettivo.

In una classica analogia della brachistocrona proposta da Feynman una spiaggia è una regione a indice di rifrazione più basso del mare; il modo più rapido per un bagnino sulla spiaggia di raggiungere a velocità costante una persona che sta affogando è percorrere il cammino ottico ovvero seguire la legge di Snell.

Storia

Il nome della legge di Snell rispetta la legge dell'eponimia di Stigler. La legge è documentata per la prima volta in un manoscritto scritto intorno al 984 del matematico arabo Ibn Sahl, che la usò per ottenere i profili delle lenti asferiche (lenti che fuocheggiano la luce senza indurre aberrazioni geometriche). Fu poi scoperta di nuovo da Thomas Harriot nel 1602, che però non pubblicò il suo lavoro. Nel 1621, fu scoperta ancora una volta da Willebrord Snell, in una forma matematicamente equivalente, ma rimase inedita fino alla sua morte. René Descartes derivò indipendentemente la legge in termini di funzioni sinusoidali nel suo trattato Discorso sul metodo del 1637 e la usò per risolvere diversi problemi di ottica. In francese la legge di Snell è chiamata "di Descartes" o "di Snell-Descartes".

Bibliografia

• Sandro Petrizzelli, Ottica geometrica 1 (PDF), su users.libero.it. URL consultato il 30/12/2013.

Voci correlate

• Leggi di Fresnel
• Riflessione (fisica)
• Rifrazione
• Onda (fisica)
• Onda elettromagnetica
• Radiazione elettromagnetica
• Velocità della luce
• Luce

Collegamenti esterni

• (EN) La scoperta delle leggi della rifrazione, su mintaka.sdsu.edu.