Moto parabolico

Moto parabolico descritto da un getto d'acqua.

Moto parabolico di un pallone da basket.

Il moto parabolico è un tipo di moto bidimensionale esprimibile attraverso la combinazione di due moti rettilinei simultanei ed indipendenti:

• moto rettilineo uniforme
• moto uniformemente accelerato.

Il moto parabolico può essere descritto mediante le relazioni della cinematica che legano i vettori posizione, velocità, ed accelerazione. La più significativa realizzazione di tale moto è fornita dal moto del proiettile in cui si utilizzano le seguenti semplificazioni (approssimazioni della fisica e della geometria del problema):

• tutta la massa e la geometria del corpo sono concentrate in un unico punto;
• l'accelerazione del moto è verticale; il suo modulo è pari all'accelerazione di gravità sulla crosta terrestre: g = 9.81 m/s². Dunque, il corpo si trova in un campo di gravità uniforme ed indipendente dal tempo;
• le eventuali forme di attriti legate alla resistenza dell'aria sono trascurabili.

Analisi del moto parabolico: traiettoria

Si supponga che un corpo sia lanciato all'istante t=0 nell'origine O di un sistema di coordinate cartesiano Oxy, e che la velocità iniziale abbia modulo v₀ e formi un angolo θ con l'asse x orizzontale.

Traiettoria parabolica del punto

Dalle leggi del moto uniformemente accelerato si ha:

$\mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (t)dt$

Ipotizzando che il corpo si trovi in prossimità della terra, è possibile considerare la funzione $\mathbf {a} (t)$ come costante, con valore pari a $-\mathbf {g}$ diretta lungo la perpendicolare al terreno (asse y), per cui si ha:

$\mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}-g\cdot t\cdot {\hat {u}}_{y}$

Come si può notare dalla formula, la velocità giace sempre nel piano formato dai vettori costanti $\mathbf {v} _{0}$ e $\mathbf {g}$, ovvero quello su cui si svolge il moto.

Il vettore velocità può essere scomposto lungo le due componenti x e y:

$\mathbf {v} _{0}=v_{0}\cos {\theta }\cdot {\hat {u}}_{x}+v_{0}\sin {\theta }\cdot {\hat {u}}_{y}.$

Dalla relazione precedente, si ricava:

$\mathbf {v} (t)=v_{0}\cos {\theta }\cdot {\hat {u}}_{x}+(v_{0}\sin {\theta }-gt)\cdot {\hat {u}}_{y}$

Proiettando le velocità sugli assi si ottengono le componenti:

$v_{x}=v_{0}\,\cos {\theta },$

costante nel tempo, e

$v_{y}=v_{0}\,\sin {\theta }-g\,t$,

da cui, integrando, si ricavano le leggi orarie dei moti lungo gli assi x e y:

$x(t)=v_{0}\,\cos {\theta }\,t$

$y(t)=v_{0}\,\sin {\theta }\,t-{\frac {1}{2}}g\,t^{2}$

La traiettoria viene ricavata eliminando la variabile temporale, ossia, esprimendo il rapporto:

${\frac {y}{x}}={\frac {v_{0}\sin {\theta }t-{\frac {1}{2}}gt^{2}}{v_{0}\cos {\theta }t}}=\tan {\theta }-{\frac {gt}{2v_{0}\cos {\theta }}}$

e esplicitando il parametro $t$ dalla legge oraria $x(t)$:

$t={\frac {x}{v_{0}\cos {\theta }}}$

In tal modo si arriva all'equazione cartesiana:

${\frac {y}{x}}=\tan {\theta }-{\frac {gt}{2v_{0}\cos {\theta }}}=\tan {\theta }-{\frac {g}{2v_{0}\cos {\theta }}}\cdot {\frac {x}{v_{0}\cos {\theta }}}$

da cui, moltiplicando per x ambo i membri, si ottiene

$\ y=x\tan {\theta }-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}{\theta }}}\cdot x^{2}$

che rappresenta una parabola con concavità rivolta verso il basso, il cui grafico è rappresentato in figura. Inoltre se la posizione del lancio del corpo non si trova nell'origine, quindi ad esempio nel punto $P=(x_{0},y_{0})$ si può approssimare la curva con una traslazione degli assi paralleli agli assi cartesiani con origine in $P$ (l'approssimazione è dovuta al fatto che stiamo considerando il corpo in prossimità della terra, ergo g è costante)

Gittata

La gittata è la distanza orizzontale del punto di lancio del corpo dal punto in cui il corpo tocca il suolo. Se consideriamo la traiettoria espressa in un piano cartesiano Oxy, per calcolare la gittata possiamo utilizzare l'equazione della traiettoria vista sopra. In relazione alla curva che forma la traiettoria del corpo (e quindi una parabola) per poter calcolare la gittata occorrono i punti di intersezione della curva con l'asse delle ascisse $y=0$, che nel caso in cui il punto di lancio del corpo sia l'origine degli assi sono:

$x\tan \theta -{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=0\quad \to \quad x\cdot \left(\tan \theta -{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x\right)=0$

Come si può notare si ottengono due soluzioni, questo perché essendo la traiettoria una parabola ha due punti di intersezione con l'asse orizzontale. Nel caso in cui il punto di lancio non è l'origine allora per calcolare la gittata occorre considerare il punto di intersezione relativo alla velocità orizzontale. La scelta può essere fatta considerando il vertice o punto di altezza massima della traiettoria. Infatti abbiamo un punto di intersezione che si trova prima di esso e uno dopo di esso rispetto all'asse orizzontale. Se la velocità orizzontale risulta essere negativa allora va preso il punto che si trova prima, se la velocità è positiva va preso il punto che si trova dopo. Studiamo il caso in cui il punto di lancio sia nell'origine, quindi il punto di intersezione prima del vertice è l'origine; La velocità non può essere negativa altrimenti praticamente non si avrebbe alcun movimento (il punto si trova già al suolo, e se l'angolo di lancio è acuto allora non può esserci movimento), pertanto il punto di intersezione da considerare è quello dopo il vertice (essendo la velocità positiva) che è

$\tan \theta -{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x=0$

Trovato il punto di intersezione nel caso generale la gittata è il modulo della differenza tra l'ascisse del punto di intersezione scelto secondo il criterio visto e l'ascisse del punto di lancio. Nel caso studiato è semplicemente il risultato stesso.

$x_{G}={\frac {2v_{0}^{2}\sin \theta \cos \theta \ }{g}}={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}$

Altezza massima

Siccome il moto parabolico è simmetrico rispetto all'asse passante per il vertice e parallelo all'asse y (proprietà della parabola), l'ascissa del punto di atterraggio è due volte l'ascissa del vertice della parabola, ovvero il doppio dell'ascissa del punto di massima altezza. Tale ascissa è dunque:

$x={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\theta )}{2g}}={\frac {v_{0}^{2}\cos {\theta }\sin {\theta }}{g}}$

Sostituendo nell'equazione della parabola esplicitata precedentemente si ha che:

$y_{M}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}{\theta }}{2g}}$

Gli stessi risultati si ottengono considerando il fatto che il punto di altezza massima è un punto di massimo della curva della traiettoria e quindi il punto di massimo della parabola. Trovarlo quindi consiste nel porre la derivata prima dell'equazione della traiettoria uguale a zero e ricavare dall'equazione ottenuta l'ascissa del punto cercato $x$(Che sarebbe la gittata) sostituendo nell'equazione della traiettoria si ottiene anche l'ordinata $y_{M}$.

Angolo di lancio per la gittata massima

Fissata $v_{0}$, ci si chiede per quale angolo la gittata è massima.

$x_{G}={\frac {v_{0}^{2}\sin {2\theta }}{g}}$

Innanzitutto avendo assunto v(0) e g costanti, è sufficiente trovare il valore per il quale $\sin {2\theta }$ è massimo. Poiché $-1<\sin {2\theta }<1$ il massimo si ha per

$\sin {2\theta }=1$

ossia per

$\theta ={\frac {\pi }{4}}$

da cui:

$(x_{G})={\frac {v_{0}^{2}}{g}}$

NB: un angolo di 45° di inclinazione risulta ottimale solo se non si considera l' attrito causato dall' aria.

Tempo di volo

Il tempo di volo è il tempo fra l'istante del lancio e quello di arrivo del corpo, che coincide con il tempo necessario a percorrere il tratto OG con la velocità v_x:

$t_{G}={\frac {x_{G}}{v_{0}cos{\theta }}}={\frac {2v_{0}sin{\theta }}{g}}=2t_{M}$

Osservazioni

Quanto studiato sopra è una situazione semplificata in quanto, nella realtà, i corpi risentono dell'attrito dell'aria, che agisce opponendosi al moto. La principale conseguenza che ha sul moto questa forza è che la gittata e il tempo di volo diminuiscono.

Dinamica del moto del proiettile

Apparecchio per dimostrare la traiettoria parabolica dei proiettili (fine XVIII secolo, Museo Galileo di Firenze).

Un tipico esempio di moto parabolico è quello del proiettile, di cui si occupa la balistica. Un proiettile in volo è sottoposto alla forza di gravità della Terra. Nell'ipotesi di attrito dell'aria trascurabile, il secondo principio della dinamica porta ad un'accelerazione che può essere scomposta nel seguente modo:

$a_{x}=0$

$a_{y}=-g$

Se il proiettile viene sparato con velocità iniziale v₀ secondo un angolo θ, si ottengono le seguenti componenti di velocità:

$v_{x}=v_{0}\cdot \cos {\theta }$

$v_{y}=v_{0}\cdot \sin {\theta }-gt$

Le componenti della posizione del proiettile sono quindi:

$x(t)=v_{0}\cos {\theta }\cdot t$

$y(t)=v_{0}\sin {\theta }\cdot t-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

Il moto lungo l'asse x è quindi uniforme, e quello lungo l'asse y accelerato. Se la velocità iniziale fosse stata pari a zero, il moto sarebbe stato di caduta libera.

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Collegamenti esterni

• Java applet of projectile motion, su phy.hk.