Teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli è un teorema di algebra lineare che permette di caratterizzare l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari (eventualmente vuoto) mediante il rango di alcune matrici.

Prende il nome dal matematico francese Eugène Rouché, suo ideatore, e dal matematico italiano Alfredo Capelli, che lo riscrisse in maniera più semplice. A questo teorema, che ha interesse prevalentemente didattico, vengono anche associati i nomi di Fontené, Kronecker e Frobenius.

Il teorema di Rouché-Capelli

Consideriamo il sistema di equazioni lineari:

$\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\\\end{matrix}}\right.$

nel quale i coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) e le componenti dei vettori sono elementi di un campo $K$, quale ad esempio quello dei numeri reali $\mathbb {R}$ o complessi $\mathbb {C}$.

Il sistema è rappresentato fedelmente dalla matrice:

$(A|\mathbf {b} )=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)$

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice $A$ dei coefficienti e di un'ulteriore colonna $\mathbf {b}$, detta colonna dei termini noti. Le matrici $A$ e $(A|\mathbf {b} )$ sono dette rispettivamente incompleta e completa.

Il teorema di Rouché-Capelli afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta:

$\operatorname {rk} (A|\mathbf {b} )=\operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )$

Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di $K^{n}$ di dimensione $n-\operatorname {rk} (A)$. In particolare, se il campo $K$ è infinito si ha che se $\operatorname {rk} (A)=n$ allora la soluzione è unica, altrimenti esistono infinite soluzioni.
Valgono le seguenti due relazioni:

• :$\operatorname {rk} (A|\mathbf {b} )\geqslant \operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )$
• :$\max\{\operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )\}=\min\{n,m\}$,
  

dove $n$ è il numero di incognite, e $m$ è il numero di equazioni del sistema.

Dimostrazione

Il sistema può essere descritto in modo più compatto, introducendo il vettore delle coordinate:

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

ed usando il prodotto fra matrici e vettori, nel modo seguente:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

Questa relazione dice che un vettore noto $\mathbf {b}$ si vuole sia l'immagine di un vettore incognito $\mathbf {x}$ ottenuta mediante l'applicazione lineare $L_{A}:K^{n}\to K^{m}$ associata alla matrice dei coefficienti:

$L_{A}(\mathbf {x} )=A\mathbf {x}$

Quindi il sistema ammette soluzione se e solo se $\mathbf {b}$ è l'immagine di almeno un vettore $\mathbf {x}$ di $K^{n}$, ovvero se e solo se fa parte dell'immagine di $L_{A}$. Si osserva che l'immagine di $L_{A}$ è generata linearmente dai vettori dati dalle colonne di $A$. Quindi $\mathbf {b}$ è contenuto nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di $A$ contiene $b$, cioè se e solo se lo span delle colonne di $A$ è uguale allo span delle colonne di $(A|\mathbf {b} )$. Quest'ultima affermazione è equivalente a chiedere che le due matrici abbiano lo stesso rango.

Se esiste una soluzione $\mathbf {x} _{0}$, ogni altra soluzione si scrive come $\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v}$, dove $\mathbf {v}$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:

$A\mathbf {v} =0$

Infatti:

$A(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} )=A\mathbf {x} _{0}+A\mathbf {v} =\mathbf {b} +\mathbf {0} =\mathbf {b} \$

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $\mathbf {x} _{0}$, è quindi il sottospazio affine dato da:

$\operatorname {Sol} (A|\mathbf {b} )=\mathbf {x} _{0}+\operatorname {Sol} (A|\mathbf {0} )$

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.

Le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato sono il nucleo dell'applicazione $L_{A}$, e per il teorema della dimensione il nucleo è un sottospazio vettoriale di dimensione $n-\rho (A)$. Quindi lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $x$, è un sottospazio affine della stessa dimensione.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.

Voci correlate

• Rango (algebra lineare)
• Sistema di equazioni lineari
• Sottospazio affine
• Teorema del rango