Distribuzione binomiale

Distribuzione binomiale ${\mathcal {B}}(n,p)$
Funzione di distribuzione discreta
Funzione di ripartizione
Parametri	${\begin{array}{l}p\in ]0,1[\\q=1-p\in ]0,1[\\n\in \mathbb {N} \end{array}}$
Supporto	$\{0,1,\dotsc ,n\}\$
Funzione di densità	$\textstyle {n \choose k}p^{k}q^{n-k}$
Funzione di ripartizione	$I_{q}(n-k,k+1)$ (funzione Beta incompleta regolarizzata)
Valore atteso	$np\$
Mediana	tra $\lfloor np\rfloor$ e $\lceil np\rceil$ (non precisa)
Moda	$[p(n+1)]$ se $p(n+1)\not \in \mathbb {N}$
Varianza	$np(1-p)\$
Indice di asimmetria	${\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}$
Curtosi	${\frac {1-6pq}{npq}}$
Funzione generatrice dei momenti	$(q+pe^{t})^{n}\$
Funzione caratteristica	$(q+pe^{it})^{n}\$

In teoria della probabilità la distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi in un processo di Bernoulli, ovvero la variabile aleatoria $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}$ che somma $n$ variabili aleatorie indipendenti di uguale distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$.

Esempi di casi di distribuzione binomiale sono i risultati di una serie di lanci di una stessa moneta o di una serie di estrazioni da un'urna (con reintroduzione), ognuna delle quali può fornire due soli risultati: il successo con probabilità $p$ e il fallimento con probabilità $q=1-p$.

Definizione

La distribuzione binomiale ${\mathcal {B}}(n,p)$ è caratterizzata da due parametri:

• $n$: il numero di prove effettuate.
• $p$: la probabilità di successo della singola prova di Bernoulli $X_{i}$ (con $0\leq p\leq 1$).

Per semplicità di notazione viene solitamente utilizzato anche il parametro $q=1-p$, che esprime la probabilità di fallimento per una singola prova.

La distribuzione di probabilità è:

$P(k)=P(X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}=k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$

cioè ogni successione con $k$ successi e $n-k$ insuccessi ha probabilità $p^{k}q^{n-k}$, mentre il numero di queste successioni, pari al numero di modi (o combinazioni) in cui possono essere disposti i $k$ successi negli $n$ tentativi, è dato dal coefficiente binomiale $\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$.

La formula del binomio di Newton mostra come la somma di tutte le probabilità nella distribuzione sia uguale a $1$:

$\sum _{k=0}^{n}P(S_{n}=k)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=(p+1-p)^{n}=(1)^{n}=1$

Esempio

Per calcolare la probabilità di ottenere con 5 lanci di un dado (equilibrato a 6 facce) esattamente 3 volte "4", basta considerare i lanci come un processo di Bernoulli.

Ogni singola prova ha probabilità p=1/6 di ottenere "4" (successo) e probabilità q=5/6 di non ottenerlo (insuccesso). Il numero di successi con 5 prove è allora descritto da una variabile aleatoria S₅ di legge B(5,1/6).

La probabilità di ottenere esattamente 3 volte "4" con 5 lanci (e 2 volte "non 4") è

$P(S_{5}=3)={\binom {5}{3}}(1/6)^{3}\ (5/6)^{2}=10(1/6)^{3}(5/6)^{2}=0{,}032\dotso$

Caratteristiche

Siccome la distribuzione binomiale ${\mathcal {B}}(n,p)$ descrive una variabile aleatoria $S_{n}$ definita come la somma di $n$ variabili aleatorie indipendenti $X_{i}$ di uguale legge di Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$, molte caratteristiche di $S_{n}$ possono essere ricavate da quelle di $X$:

• il valore atteso

$E[S_{n}]=\sum _{i=1}^{n}E[X_{i}]=nE[X]=np$

• la varianza

${\text{Var}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})=n\operatorname {Var} (X)=npq$

• la funzione generatrice dei momenti

$g(S_{n},t)=\prod _{i=1}^{n}g(X_{i},t)=g(X,t)^{n}=(q+pe^{t})^{n}$

• la funzione caratteristica

$\phi _{S_{n}}(t)=\prod _{i=1}^{n}\phi _{X_{i}}(t)=\phi _{X}(t)^{n}=(q+pe^{it})^{n}$

• il coefficiente di skewness

$\gamma _{1}={\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}$

• il coefficiente di curtosi

$\gamma _{2}={\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{pq}}-6\right)$

La moda di $S_{n}$ si ottiene confrontando le probabilità successive $P(k+1)/P(k)$. Se $p(n+1)$ è un numero intero allora $P(p(n+1))=P(p(n+1)-1)$ e la moda non è unica; se invece $p(n+1)$ non è un intero allora la moda è pari alla sua parte intera $[p(n+1)]$.

Non esistono formule precise per la mediana di $S_{n}$, che tuttavia dev'essere compresa tra le parti intere inferiore e superiore di $np$, $\lfloor np\rfloor$ e $\lceil np\rceil$. Se $np$ è un intero allora la mediana è $np$. Se la funzione di ripartizione assume il valore $1/2$ (ad esempio $F(k)=1/2$ per $p=1/2$ ed $n=2k+1$ dispari) allora tutti i valori dell'intervallo possono essere presi come mediana.

Altre distribuzioni di probabilità

La distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ può essere considerata come un caso particolare di distribuzione binomiale ${\mathcal {B}}(1,p)$, che descrive un processo di Bernoulli con una sola prova: $S_{1}=X_{1}$.

I successi in una sequenza di estrazioni da un'urna, effettuate senza reintroduzione degli estratti, sono descritti da una variabile aleatoria che segue la legge ipergeometrica.

Convergenze

Per valori di $n$ sufficientemente grandi la legge binomiale è approssimata da altre leggi.

Quando $n$ tende a infinito, lasciando fisso $\lambda =np$, la distribuzione binomiale tende alla distribuzione di Poisson $P(\lambda )=P(np)$. In statistica quest'approssimazione viene solitamente accettata quando $n\geq 20$ e $p\leq 1/20$, oppure quando $n\geq 100$ e $np\leq 10$.

Per il teorema del limite centrale, quando $n$ tende a infinito, lasciando fisso $p$, la distribuzione binomiale tende alla distribuzione normale $N(np,npq)$, di speranza $np$ e varianza $npq$. In statistica quest'approssimazione viene solitamente accettata quando $np>5$ e $nq>5$.

Più precisamente, il teorema del limite centrale afferma che

$\lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}-E[S_{n}]}{\sqrt {\operatorname {Var} (S_{n})}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}-np}{\sqrt {npq}}}={\mathcal {N}}(0,1)$

Generalizzazioni

Una generalizzazione della distribuzione binomiale ${\mathcal {B}}(p,n)$ è la legge distribuzione Beta-binomiale $\mathrm {B} (a,b,n)$, che descrive la somma $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}$ di $n$ variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione di Bernoulli ${\mathcal {B}}(P)$, dove $P$ segue la legge Beta $\mathrm {B} (a,b)$. (Al contrario della distribuzione binomiale, le $X_{i}$ non hanno lo stesso parametro.)

La distribuzione binomiale è una delle quattro distribuzioni di probabilità definite dalla ricorsione di Panjer: $P(k)=(-{\tfrac {p}{q}}+{\tfrac {1}{k}}{\tfrac {(n+1)p}{q}})P(k-1)$.

Statistica

Nell'inferenza bayesiana si utilizzano particolari relazioni tra la distribuzione binomiale e altre distribuzioni di probabilità.

Se P è una variabile aleatoria che segue la distribuzione Beta $\mathrm {B} (a,b)$ e S_n è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale ${\mathcal {B}}(p,n)$, allora la probabilità condizionata da S_n=x per P segue la distribuzione Beta $\mathrm {B} (a+x,b+n-x)$. In altri termini, la distribuzione Beta descrive P sia a priori che a posteriori di S_n=x.

In particolare la distribuzione continua uniforme sull'intervallo [0,1] è un caso particolare di distribuzione Beta $\mathrm {B} (1,1)$, quindi la distribuzione per P, a posteriori di S_n=x, segue la legge Beta $\mathrm {B} (x+1,n-x+1)$, che per inciso ha un massimo in x/n.

Bibliografia

• Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2.

Voci correlate

• Processo di Bernoulli
• Distribuzione di Bernoulli
• Distribuzione normale
• Distribuzione di Poisson

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Collegamenti esterni

• Calcolatrice online - Distribuzione binomiale, su elektro-energetika.cz.