Automorfismo interno: differenze tra le versioni
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Un '''automorfismo interno''' di un [[gruppo (matematica)|gruppo]] è un [[automorfismo]] indotto da un elemento ''g'' del gruppo tramite [[coniugio]], cioè un automorfismo nella forma |
Un '''automorfismo interno''' di un [[gruppo (matematica)|gruppo]] è un [[automorfismo]] indotto da un elemento ''g'' del gruppo tramite [[Classe di coniugio|coniugio]], cioè un automorfismo nella forma |
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:<math>T_g(x)=g^{-1}xg</math> |
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per un elemento fissato ''g'' del gruppo. Un automorfismo che non è interno è detto [[automorfismo esterno|esterno]]. |
per un elemento fissato ''g'' del gruppo. Un automorfismo che non è interno è detto [[automorfismo esterno|esterno]]. |
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Infatti questa funzione è un [[omomorfismo]] [[iniettivo]] e [[suriettivo]], ovvero un [[isomorfismo]]. Inoltre due elementi ''g'' ed ''h'' che appartengono allo stesso laterale del centro ''Z'' inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se ''g''=''hz'' con ''z'' nel centro allora <math>g^{-1}xg</math> = <math>z^{-1}h^{-1}xhz</math> = <math>h^{-1}xh</math>. |
Infatti questa funzione è un [[omomorfismo]] [[iniettivo]] e [[suriettivo]], ovvero un [[isomorfismo]]. Inoltre due elementi ''g'' ed ''h'' che appartengono allo stesso laterale del centro ''Z'' inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se ''g''=''hz'' con ''z'' nel centro allora <math>g^{-1}xg</math> = <math>z^{-1}h^{-1}xhz</math> = <math>h^{-1}xh</math>. |
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In un [[gruppo abeliano]] l'unico automorfismo interno è l'identità. |
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L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con Inn(G), che è un [[sottogruppo normale]] del gruppo Aut(G) degli automorfismi del gruppo G. Inn(G) è [[isomorfo]] al [[gruppo quoziente]] G/Z(G), dove Z(G) è il [[centro di un gruppo|centro]] di G. |
L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con Inn(G), che è un [[sottogruppo normale]] del gruppo Aut(G) degli automorfismi del gruppo G. Inn(G) è [[isomorfo]] al [[gruppo quoziente]] G/Z(G), dove Z(G) è il [[centro di un gruppo|centro]] di G. |
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Versione delle 00:30, 17 giu 2016
Un automorfismo interno di un gruppo è un automorfismo indotto da un elemento g del gruppo tramite coniugio, cioè un automorfismo nella forma
per un elemento fissato g del gruppo. Un automorfismo che non è interno è detto esterno.
Infatti questa funzione è un omomorfismo iniettivo e suriettivo, ovvero un isomorfismo. Inoltre due elementi g ed h che appartengono allo stesso laterale del centro Z inducono lo stesso automorfismo interno. Infatti se g=hz con z nel centro allora = = .
In un gruppo abeliano l'unico automorfismo interno è l'identità.
L'insieme degli automorfismi interni forma un gruppo, denotato con Inn(G), che è un sottogruppo normale del gruppo Aut(G) degli automorfismi del gruppo G. Inn(G) è isomorfo al gruppo quoziente G/Z(G), dove Z(G) è il centro di G.
Nel gruppo simmetrico su n elementi, se n è diverso da 6, tutti gli automorfismi sono interni.
