Dominio e codominio

Definizione di funzione

In matematica una funzione è il dato di tre oggetti: un dominio $X$, un codominio $Y$ e una legge $x\mapsto f(x)$ che associa ad ogni elemento $x$ di $X$ uno e un solo elemento di $Y$ che viene indicato $f(x)$. Una funzione viene definita indicando tutti e tre questi oggetti, che vengono raccolti nella notazione

$f\colon {\begin{array}{ccc}X&\to &Y\\x&\mapsto &f(x)\end{array}}$

o nella notazione equivalente

$f\colon X\to Y\colon x\mapsto f(x)$

È importante notare che il dominio e il codominio devono essere definiti prima della legge di applicazione, e che tutti assieme questi oggetti definiscono una funzione. In particolare, senza indicare il dominio e il codominio non può essere definita alcuna funzione.

Ad esempio, per ogni insieme $S$ è ben definita una funzione identità su $S$, con dominio $S$, codominio $S$ e legge di applicazione $x\mapsto x$:

${\text{id}}_{S}\colon S\to S\colon x\mapsto x$

Omettendo dominio e codominio, la sola legge di applicazione $x\mapsto x$ non è ben definita e non definisce alcuna funzione.

Insieme di definizione

In alcuni ambienti si usa sottintendere il dominio e il codominio di una funzione reale di variabile reale (cioè con dominio e codominio contenuti nell'insieme dei numeri reali) quando il dominio è pari all'insieme di definizione della funzione e il codominio è l'intero insieme dei numeri reali.

Ad esempio,

nell'ambito delle funzioni reali di variabile reale, $f\colon x\mapsto x^{2}$ potrebbe sottointendere un dominio $\mathbb {R}$ e un codominio $\mathbb {R}$;

$f\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\colon x\mapsto x^{2}$ ha certamente dominio $\mathbb {R} ^{+}$ e codominio $\mathbb {R} ^{+}$;

$f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \colon x\mapsto x^{2}$ ha certamente dominio $\mathbb {C}$ e codominio $\mathbb {C}$.

Dunque nel sottintendere dominio e codominio, ci si limita a sottoinsiemi dei numeri reali e si rinuncia a studiare le proprietà di una funzione (come iniettività, suriettività, morfismo).

Insieme immagine

$Y$ rappresenta il codominio della funzione $f$; l'insieme denotato con $f(X)$, che è sempre incluso in $Y$, è invece l'immagine di $f$.

Come il dominio, anche il codominio è parte integrante della definizione di funzione e senza di esso non è possibile definire una legge di applicazione.

Da un punto di vista puramente computazionale, ovvero se ci si interessa alle sole immagini $f(x)$ dei singoli elementi del dominio, si considera il solo insieme delle immagini, o immagine $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$, che è un sottoinsieme del codominio.

È sempre possibile definire una nuova funzione

${\tilde {f}}\colon X\to f(X)\colon x\mapsto f(x)$

che è talvolta identificata con la funzione stessa, pur avendo diverse proprietà (come suriettività o morfismo).

Ad esempio, nel calcolo di $f(1)={\tilde {f}}(1)$ vengono identificate le due funzioni

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto e^{x}$

${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+}\colon x\mapsto e^{x}$

anche se solo la seconda è un isomorfismo tra il gruppo $(\mathbb {R} ,+)$ e il gruppo $(\mathbb {R} _{0}^{+},\cdot )$.