Quadrato

In geometria, il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti (tutti retti).

Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).

Caratteristiche principali

Le diagonali di un quadrato sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano

${\mbox{diagonale}}={\mbox{lato}}\cdot {\sqrt {2}}$

Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).

$AC={\sqrt {AD^{2}+CD^{2}}}={\sqrt {l^{2}+l^{2}}}={\sqrt {2\cdot l^{2}}}=l\cdot {\sqrt {2}}$.

Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:

${\mbox{lato}}\cdot 4$

L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:

${\mbox{lato}}^{2}$

ma si può calcolare anche come

${\frac {{\mbox{diagonale}}^{2}}{2}}$ per il teorema di Pitagora.

Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.

Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.

Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli $k{\frac {\pi }{2}}{\mbox{rad}}=k90^{\circ }{\mbox{ per }}k=0,1,2,3$; naturalmente la rotazione di $\,\pi$ radianti è la simmetria centrale.

Equazione di un quadrato su un piano cartesiano

Il quadrato $Q$ di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:

$Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ |x|\leq 1,|y|\leq 1{\big \}}.$

Il suo bordo è quindi

$\partial Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ |x|=1,|y|\leq 1\}\cup \{(x,y)\ |\ |y|=1,|x|\leq 1{\big \}}.$

Questo può essere anche descritto come

$\partial Q={\big \{}(x,y)\ {\big |}\ 0<\lim _{n\rightarrow \infty }x^{2n}+y^{2n}<\infty {\big \}}.$

In matematica, questo quadrato rappresenta la palla unitaria del piano rispetto alla norma uniforme.

Esistenza del quadrato

Un "quadrato" nel piano iperbolico con angoli acuti tutti congruenti

Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.

Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro. Esistono comunque "quadrati" nel piano iperbolico se si richiede solamente che i quattro angoli siano uguali (ma non retti): per ogni numero reale $\alpha$ strettamente minore di $\pi /2$ esiste infatti un poligono con quattro lati uguali e quattro angoli uguali pari a $\alpha$.

Costruzione

Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:

Costruzione del quadrato inscritto nella circonferenza

Voci correlate

• Quadrilatero
• Quadrato (algebra)
• Teorema delle intersezioni dimensionali
• Sezioni ipercubiche ortoassiali

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