Risposta in frequenza

In teoria dei sistemi dinamici, la risposta in frequenza o risposta armonica di un sistema dinamico è la descrizione della sua uscita (una funzione del tempo) utilizzando come variabile la frequenza invece che il tempo (ovvero nel dominio della frequenza). La descrizione in frequenza di un sistema dinamico, da un punto di vista matematico, avviene tramite il formalismo della rappresentazione spettrale dei segnali.

L'analisi in frequenza del comportamento di un sistema viene svolta molto spesso quando si ha a che fare con sistemi lineari (in configurazione stabile), i quali hanno la fondamentale proprietà di rispondere ad un input puramente sinusoidale con un'uscita della stessa frequenza, ovvero restituiscono la medesima sinusoide in ingresso sfasata e moltiplicata per un fattore scalare. Se il sistema è un sistema dinamico lineare stazionario (LTI) tale fattore moltiplicativo non varia nel tempo; per tale motivo la risposta in frequenza di sistemi LTI viene caratterizzata completamente dalla risposta all'impulso, cioè dall'uscita del sistema quando in ingresso vi è un solo impulso che contiene tutte le frequenze, come un impulso a delta di Dirac. La risposta in frequenza è in tal caso esplicitata dalla funzione di trasferimento (definita come la trasformata di Laplace della risposta all'impulso a delta di Dirac.

Descrizione

Definire la risposta in frequenza di un sistema consiste nello stabilire quale è la relazione fra ingresso e uscita nel dominio della frequenza. Se il sistema è lineare, sollecitando una configurazione stabile con una perturbazione periodica (un'oscillazione) il sistema si troverà in uno stato oscillante con la stessa frequenza ma con fase e ampiezza diverse da quelle dell'oscillazione in ingresso. In particolare, per un sistema lineare stazionario la risposta in frequenza è data dalla funzione di trasferimento.

In elettronica e telecomunicazioni la risposta in frequenza è un fattore di grande importanza, che caratterizza numerose applicazioni. Tra le applicazioni più comuni vi sono i filtri elettrici, elettronici o ottici, circuiti in grado di elaborare il segnale privandolo di alcune sue componenti in frequenza, spesso per ripulirlo da disturbi. Sono detti filtri passa basso, passa banda o passa alto grazie alla loro peculiarità di lasciar passare frequenza basse, intermedie o elevate. Nel caso di filtri attivi, la risposta in frequenza si usa per progettare filtri con particolari caratteristiche. Infine, lo studio in frequenza è indispensabile nell'analisi e sintesi degli amplificatori lineari e negli amplificatore a retroazione.

Formalismo matematico

La determinazione della risposta ad un segnale periodico $s(t)$ di forma qualsiasi si calcola a partire dallo sviluppo in serie di Fourier del segnale medesimo:

$s(t)=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos(\omega _{0}nt)+B_{n}\sin(\omega _{0}nt))$

dove i valori di $A_{0}$, $A_{n}$ e $B_{n}$ sono dati da:

$A_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{s(t)dt}$

$A_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{s(t)\cos(n\omega _{0}t})dt$

$B_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}{s(t)\sin(n\omega _{0}t})dt$

Per segnali non periodici si deve ricorrere ad una trasformata integrale, come la trasformata di Fourier:

$f(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega _{n})e^{j\omega _{n}t}d\omega _{n}$

In molti testi l'analisi in frequenza è realizzata mediante l'utilizzo della trasformata di Laplace, che rende possibile il superamento di alcune difficoltà matematiche che si presentano con la trasformata di Fourier. La trasformata di Laplace $L[f(t)]$ di una funzione $f(t)$ è:

$L[f(t)]=F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

In generale questo formalismo conduce a notevoli semplificazioni nei calcoli; infatti, nel dominio della frequenza a operazioni di natura infinitesimale su funzioni nel tempo corrispondono operazioni di tipo algebrico delle relative trasformate. Si procede poi al recupero della funzione nel tempo attraverso opportuna anti-trasformazione.

Sistemi dinamici lineari

La risposta in uscita di un sistema dinamico lineare ha la stessa forma e la stessa frequenza del segnale d'entrata, ma vi si differenzia nell'ampiezza e nella fase. Nota la risposta del sistema a segnali sinusoidali di frequenza qualsiasi, è possibile risalire alla risposta ad un segnale periodico non sinusoidale. Dato un sistema lineare stabile, in cui il legame tra ingresso ed uscita è rappresentato da una equazione differenziale lineare (a coefficienti costanti se il sistema è stazionario), applicando un segnale sinusoidale $x(t)=X_{m}\sin(\omega t)$ di ampiezza $X_{m}$ e frequenza $\omega$ si ha che, dopo che è svanito il periodo transitorio, il segnale in uscita risulta sinusoidale e della stessa frequenza di quello d'ingresso, ovvero del tipo $y(t)=U_{m}\sin(\omega t+\phi )$. L'ampiezza $Y_{m}$ e lo sfasamento $\phi$ sono funzioni della frequenza. Il rapporto delle ampiezze $Y_{m}(\omega )/X_{m}(\omega )$ è detto guadagno per la frequenza $\omega$.

Sistemi LTI

Detto $x(t)$ un segnale in ingresso ad un sistema LTI e $y$ la sua risposta, l'equazione che governa il sistema può essere scritta come:

$a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}y(t)+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}y(t)+\dots +a_{0}y(t)=b_{m}{\frac {d^{m}}{dt^{m}}}x(t)+b_{m-1}{\frac {d^{m-1}}{dt^{m-1}}}x(t)+\dots +b_{0}x(t)$

e la funzione di trasferimento è data da:

$k(i\omega )={\frac {b_{m}(i\omega )^{m}+b_{m-1}(i\omega )^{m-1}+\dots +b_{0}}{a_{n}(i\omega )^{n}+a_{n-1}(i\omega )^{n-1}+\dots +a_{0}}}$

Si tratta della trasformata di Laplace della risposta impulsiva $h$, ovvero:

$k(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}\cdot h(t)\,dt$

$h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }k(i\omega )e^{i\omega t}\,d\omega$

La risposta impulsiva e quella in frequenza sono dunque una la trasformata dell'altra.

Teorema della risposta armonica

Il teorema della risposta armonica afferma che un sistema lineare e stazionario, sollecitato da un ingresso sinuisoidale di pulsazione $\omega$:

$\ x(t)=A\sin(\omega t)=A\sin(2\pi ft)$

se asintoticamente stabile presenta a regime una risposta sinusoidale avente la stessa frequenza dell'eccitazione con ampiezza pari al modulo della risposta in frequenza e differenza di fase pari alla fase della risposta in frequenza:

$\ y(t)=|G(j\omega )|A\sin(2\pi ft+\angle G(j\omega ))$

dove $\ \angle G(j\omega )$ è la fase.

Infatti, la trasformata di Laplace del segnale di ingresso $\ x(t)=A\sin(\omega t)$ è:

$\ X(s)={\frac {A\omega }{(s^{2}+\omega ^{2})}}$

mentre l'uscita, a partire da uno stato nullo, ammette una trasformata del tipo:

$\ Y(s)=G(s)X(s)=G(s){\frac {A\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}=G(s){\frac {A\omega }{(s-j\omega )(s+j\omega )}}$

I poli sono gli stessi della funzione di trasferimento più quelli corrispondenti al segnale in ingresso. Si nota antitrasformando che i primi corrispondono ad un termine transitorio $y_{0}(t)$ mentre i secondi ad un termine permanente $y_{p}(t)$ che, come si verificherà, è sinusoidale. Pertanto, la risposta si può scrivere come:

$\ y(t)=y_{0}(t)+y_{p}(t)=y_{0}(t)+K_{1}e^{j\omega t}+K_{2}e^{-j\omega t}$

In cui $K_{1}$ e $K_{2}$ sono i residui dei poli $p_{1},p_{2}$ relativi al segnale di ingresso:

$\ K_{1}=\left[{\frac {G(s)A\omega }{s+j\omega }}\right]_{s=j\omega }={\frac {A}{2j}}G(j\omega )$

$K_{2}=\left[{\frac {G(s)A\omega }{s-j\omega }}\right]_{s=-j\omega }=-{\frac {A}{2j}}G(-j\omega )$

La trasformata di Laplace soddisfa la relazione $\ F(s^{*})=F^{*}(s)$ pertanto si può scrivere:

$G(j\omega )=|G(j\omega )|e^{j\varphi (\omega )}\qquad G(-j\omega )=|G(j\omega )|e^{-j\varphi (\omega )}$

in cui si è posto $\varphi (\omega )=\angle (G(j\omega ))$. Una volta esaurito il transitorio si ottiene:

$y(t)\cong y_{p}(t)=|G(j\omega )|A{\frac {e^{j(\omega t+\varphi (\omega ))}-e^{-j(\omega t+\varphi (\omega ))}}{2j}}=|G(j\omega )|A\sin(\omega t+\varphi (\omega ))$

Pertanto il teorema è dimostrato.

Esempio

Si consideri un circuito elettrico costituito da una resistenza ed una induttanza posti in serie. L'equazione che lo caratterizza è:

$L{\frac {di}{dt}}+Ri=E$

Effettuando la trasformata:

$L[si(s)-i(0+)]+Ri(s)={\frac {E}{s}}$

e risolvendo per $i(s)$, posto $i(0+)=0$, risulta:

$i(s)={\frac {E}{s(sL+R)}}$

la cui antitrasformata è:

$i={\frac {E}{R}}(1-e^{-{\frac {Rt}{L}}})$

Bibliografia

• (EN) Luther, Arch C.; Inglis, Andrew F. Video engineering, McGraw-Hill, 1999. ISBN 0-07-135017-9
• (EN) Stark, Scott Hunter. Live Sound Reinforcement, Vallejo, California, Artistpro.com, 1996–2002. ISBN 0-918371-07-4
• (EN) Billings S.A. "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains". Wiley, 2013

Voci correlate

• Rappresentazione dinamica dei segnali
• Rappresentazione spettrale dei segnali
• Sistemi lineari e stazionari
• Regime sinusoidale
• Sistemi lineari dinamici
• Funzione di trasferimento
• Funzione di rete
• Diagramma di Bode

Collegamenti esterni

• (EN) University of Michigan: Frequency Response Analysis and Design Tutorial
• (EN) Smith, Julius O. III: Introduction to Digital Filters with Audio Applications has a nice chapter on Frequency Response