Differenze tra le versioni di "Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer"

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(correzione terminologia)
In [[matematica]], la '''congettura di Birch e Swinnerton-Dyer''' riguarda un particolare tipo di curve, le [[curve ellittiche]] nei [[numeri razionali]]. Questa [[congettura]] si basa sul fatto che le equazioni abbiano finite o infinite soluzioni razionali. Il [[decimo problema di Hilbert]] era simile ma trattava delle [[equazione diofantea|equazioni diofantee]], ede ne è stata dimostrata l'indecidibilità.
 
== Contesto ==
Tra i [[problemi di Hilbert|problemi]] presentati da [[David Hilbert|Hilbert]], il decimo riguardava le equazione diofantee, ovvero quelle equazioni in più incognite di cui si cercano le soluzioni intere. Nel 1970 [[Yuri Matiyasevich]] dimostrò che non esiste un metodo generale per risolverle. Tuttavia quando le soluzioni sono i punti di una [[varietà abeliana]], la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer afferma che la dimensione del gruppo dei punti razionali della curva è legata al comportamento di una certa [[Funzione (matematica)|funzione]] <math>z(s)</math>, per valori di ''<math>s''</math> vicini a <math>1</math>.
 
== Introduzione matematica ==
 
== Enunciato della congettura ==
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer asserisce che il rango ''<math>r''</math> di una curva ellittica ''<math>E''</math> è pari all'ordine di annullamento in <math>s=1</math> di <math>L (E, s)</math>.
 
Ossia valgono
La Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è stata dimostrata solo in alcuni casi particolari:
 
# Nel 1976 [[John Coates]] e [[Andrew Wiles]] hanno dimostrato che, se <math>E</math> è una curva su un [[campo numerico]] <math>F</math> con la [[moltiplicazione complessa]] daper un [[campo quadratico immaginario]] quadratrico<math>K</math> con [[numero di classe]] <math>1</math>, se <math>F=K</math> o <math>F=\Q</math>, e se <math>L(E,1) è diverso da\neq 0</math>, allora <math>E(F)</math> ha soloè un numero[[gruppo finito]]. di punti razionali.Questo Questarisultato è stata estesaesteso al caso in cui <math>F</math> sia una qualche estensione abeliana finita di <math>K</math> da [[Nicole Arthaud-Kuhman]], che ha condiviso l'ufficio con Wiles, quando erano entrambi studenti di Coates a [[Stanford University|Stanford]].
# Nel 1983 Benedict Gross e [[Don Zagier]] hanno dimostrato che se una [[curva ellittica modulare]] ha ununo zero di primo-ordine zero<math>1</math> in ''<math>s'' = 1</math> allora ha un punto razionale di ordine infinito; vedere il [[teorema di Gross-Zagier]].
# Nel 1990 [[Victor Kolyvagin]] ha dimostrato che una curva ellittica modulare <math>E</math> per cui <math>L(E, 1)</math> non è pariuguale a zero ha gradorango <math>0</math>, e una curva ellittica modulare <math>E</math> tale che <math>L(E, 1)</math> ha ununo zero di primo-ordine zero<math>1</math> in <math>s = 1</math> ha [[rango]] 1uno.
# Nel 1991 [[Karl Rubin]] ha mostrato che per le curve ellittiche definite su un campo quadratico immaginario <math>K</math> con moltiplicazione complessa per <math>K</math>, se la serie L della curva ellittica non eraè zero ain <math>s = 1</math>, allora la <math>p</math>-esima parte del [[gruppo di Tate-Shafarevich]] avevaha l'ordine previsto dalla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, per tutti i primi <math>p > 7</math>.
# Nel 1999, Andrew Wiles, [[Christophe Breuil]], [[Brian Conrad]], [[Fred Diamond]] e [[Richard Lawrence Taylor]] hanno dimostrato che tutte le curve ellittiche definite susul campo dei numeri razionali sono modulari ([[teorema di Taniyama-Shimura]]), che si estende ai risultati 2 e 3 per tutte le curve ellittiche sui razionali.
 
== Premio Clay Mathematics Institute ==

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