Oscillazione del neutrino

L'oscillazione del neutrino è un fenomeno quantomeccanico per cui un neutrino, creato con un certo sapore, può assumere un sapore diverso al passare del tempo. La probabilità di misurare uno specifico sapore (che può essere elettrone, muone o tauone) varia periodicamente durante la propagazione del neutrino. Il fenomeno è stato predetto da Bruno Pontecorvo nel 1957 e osservato sperimentalmente, per la prima volta in ambito astrofisico nel 1998 (grazie all'osservatorio Super-Kamiokande), e in seguito tramite esperimenti di laboratorio (come OPERA, che sfrutta neutrini prodotti al CERN e inviati ai Laboratori Nazionali del Gran Sasso).

Il fenomeno di oscillazione implica che la massa dei neutrini sia non nulla, fatto non previsto dal Modello standard della fisica delle particelle. Il meccanismo di generazione della massa dei neutrini è tuttora un problema aperto e dibattuto.

Prove dell'oscillazione del neutrino

Neutrini solari

Il modello solare standard predice che, durante le reazioni di fusione che avvengono nel nucleo solare, vengano prodotti neutrini di sapore elettronico. Tuttavia il flusso di neutrini elettronici osservati a Terra è circa un terzo rispetto a quello previsto, come fu osservato da Ray Davis negli anni '60. Questa discrepanza ha originato il cosiddetto "problema dei neutrini solari", risolvibile ipotizzando il meccanismo di oscillazione dei neutrini. Nel 2001, il canadese Sudbury Neutrino Observatory ha dimostrato che dal sole proviene un flusso di neutrini muonici e tauonici, oltre che elettronici: la spiegazione più accreditata è che i neutrini siano inizialmente elettronici, ma cambino sapore all'interno del nucleo solare per il cosiddetto effetto Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein.

Neutrini atmosferici

Diversi osservatori, come l'italiano MACRO o Super-Kamiokande, hanno osservato un deficit nel rapporto tra i flussi di neutrini muonici ed elettronici prodotti dai raggi cosmici nell'atmosfera. Il fenomeno è interpretato come un cambiamento di sapore, da muonico a tauonico, di parte dei neutrini.

Reattori nucleari

Le oscillazioni possono essere osservate nei neutrini prodotti nei reattori nucleari. Un recente esempio è costituito dallo studio pubblicato nel marzo 2012 dalla collaborazione di Daya Bay (Cina), che descrive l'osservazione dell'oscillazione di antineutrini elettronici.

Acceleratori di particelle

I fasci di neutrini prodotti in un acceleratore di particelle offrono buone opportunità di studio. Nel 2010, ad esempio, l'esperimento OPERA ha dimostrato la presenza di un neutrino tauonico in un fascio di neutrini muonici inviati dal CERN.

Teoria

Secondo il modello standard, i neutrini sono creati, a seguito di interazioni deboli, con un sapore ben definito: sono cioè in un autostato del sapore (a rigore, i neutrini sono inizialmente entagled con le altre particelle prodotte, ma questo fatto può essere trascurato almeno in prima approssimazione). Supponiamo ora che un neutrino non sia prodotto con massa definita, ma sia piuttosto in una sovrapposizione di autostati della massa. In altri termini, un autostato del sapore non è anche un autostato della massa. In tal caso, durante la propagazione del neutrino nello spazio, le fasi della funzione d'onda corrispondenti a ciascuno degli autostati della massa avanza con velocità leggermente diverse. Ciò provoca una diversa sovrapposizione di stati della massa, quindi una diversa sovrapposizione di stati del sapore. Ad esempio, il sapore di un neutrino inizialmente elettronico diventa una sovrapposizione dei tre sapori; se il neutrino percorre una distanza sufficiente, si potrà osservare periodicamente in uno stato di sapore diverso da quello originario.

La matrice Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakata

La proposta di Pontecorvo del 1957 sulle oscillazioni di neutrino fu sviluppata da Maki, Nakagawa e Sakata nel 1962, ed ulteriormente elaborata dallo stesso Pontecorvo nel 1967.

L'operatore unitario che collega gli autostati di sapore e massa si può scrivere come

$\left|\nu _{\alpha }\right\rangle =\sum _{i}U_{\alpha i}\left|\nu _{i}\right\rangle \,$

$\left|\nu _{i}\right\rangle =\sum _{\alpha }U_{\alpha i}^{*}\left|\nu _{\alpha }\right\rangle$,

dove

• $\left|\nu _{\alpha }\right\rangle$ rappresenta un neutrino con sapore definito. α = e (elettrone), μ (muone) o τ (tauone).
• $\left|\nu _{i}\right\rangle$ rappresenta un neutrino con massa definita. $m_{i}$, $i=$ 1, 2, 3.
• L'asterisco (${}^{*}$) rappresenta il complesso coniugato.

$U_{\alpha i}$ è la matrice Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakata (o matrice PMNS), analoga alla matrice CKM che descrive il cambiamento di sapore dei quark. Se la matrice PMNS fosse uguale alla matrice identità, gli autostati del sapore sarebbero anche autostati della massa. L'osservazione delle oscillazioni di neutrino indica che questo non è il caso.

Nel modello standard la matrice PMNS è una matrice 3×3 che descrive il cambiamento di sapore dei neutrini. Può essere rappresentata così:

${\begin{bmatrix}{\nu _{e}}\\{\nu _{\mu }}\\{\nu _{\tau }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\nu _{1}\\\nu _{2}\\\nu _{3}\end{bmatrix}}$

$U={\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta }\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta }&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta }&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta }&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta }&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

$U={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta }\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta }&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

dove c_ij = cosθ_ij e s_ij = sinθ_ij. I fattori di fase α₁ e α₂ hanno significato fisico solo se i neutrini sono particelle di Majorana — cioè se un neutrino è identico al proprio antineutrino (ad oggi, non ci sono conferme sperimentali di questa ipotesi, ma neanche del contrario). Il fattore di fase δ è diverso da zero solo se le oscillazioni di neutrino violano la simmetria CP, come ci si può attendere per l'analogia con la matrice CKM (ma non ci sono, ad oggi, conferme sperimentali).

Propagazione e interferenza

Poiché $\left|\nu _{i}\right\rangle$ sono autostati della massa, la loro propagazione si può descrivere in termini di onde piane nella forma:

$|\nu _{i}(t)\rangle =e^{-i(E_{i}t-{\vec {p}}_{i}\cdot {\vec {x}})}|\nu _{i}(0)\rangle ,$

dove

• le grandezze fisiche sono espresse in unità naturali $(c=1,\hbar =1)$
• $E_{i}$ è l'energia dell'autostato della massa $i$,
• $t$ è il tempo dall'inizio della propagazione
• ${\vec {p}}_{i}$ è l'impulso,
• ${\vec {x}}$ è la posizione della particella

Nel limite ultrarelativistico, $|{\vec {p}}_{i}|=p_{i}\gg m_{i}$, l'energia si può approssimare come

$E_{i}={\sqrt {p_{i}^{2}+m_{i}^{2}}}\simeq p_{i}+{\frac {m_{i}^{2}}{2p_{i}}}\approx E+{\frac {m_{i}^{2}}{2E}},$

dove E è l'energia totale della particella. Questo limite è generalmente valido per i neutrini, poiché le masse sono minori di 1 eV e le energie maggiori di 1 MeV, e il fattore di Lorentz γ è maggiore di 10⁶ in ogni caso. Scrivendo t ≈ L, dove L è la distanza percorsa, ed eliminando i fattori di fase, la funzione d'onda diventa:

$|\nu _{i}(L)\rangle =e^{-im_{i}^{2}L/2E}|\nu _{i}(0)\rangle .$

Autostati con diverse masse viaggiano a velocità diverse: i più "pesanti" rimangono indietro. Poiché gli autostati della massa sono combinazioni di autostati del sapore, la differenza di velocità dei primi causa interferenza tra le componenti del sapore corrispondenti. Diventa così possibile che il neutrino cambi sapore durante la propagazione: la probabilità che un neutrino con sapore iniziale α sia osservato con sapore β è

$P_{\alpha \rightarrow \beta }=\left|\left\langle \nu _{\beta }|\nu _{\alpha }(t)\right\rangle \right|^{2}=\left|\sum _{i}U_{\alpha i}^{*}U_{\beta i}e^{-im_{i}^{2}L/2E}\right|^{2}.$

o meglio

${\begin{matrix}P_{\alpha \rightarrow \beta }=\delta _{\alpha \beta }&-&4{\displaystyle \sum _{i>j}{\rm {Re}}(U_{\alpha i}^{*}U_{\beta i}U_{\alpha j}U_{\beta j}^{*}})\sin ^{2}({\frac {\Delta m_{ij}^{2}L}{4E}})\\&+&{\displaystyle 2\sum _{i>j}{\rm {Im}}(U_{\alpha i}^{*}U_{\beta i}U_{\alpha j}U_{\beta j}^{*})\sin(}{\frac {\Delta m_{ij}^{2}L}{2E}}),\end{matrix}}$

dove $\Delta m_{ij}^{2}\ \equiv m_{i}^{2}-m_{j}^{2}$. La fase responsabile delle oscillazioni si può scrivere (esplicitando c e $\hbar$)

${\frac {\Delta m^{2}\,c^{3}\,L}{4\hbar E}}={\frac {{\rm {GeV}}\,{\rm {fm}}}{4\hbar c}}\times {\frac {\Delta m^{2}}{{\rm {eV}}^{2}}}{\frac {L}{\rm {km}}}{\frac {\rm {GeV}}{E}}\approx 1.267\times {\frac {\Delta m^{2}}{{\rm {eV}}^{2}}}{\frac {L}{\rm {km}}}{\frac {\rm {GeV}}{E}},$

dove 1.267 è un numero puro.

• Le differenze di massa, Δm², sono dell'ordine di 10^-4 eV²
• Le distanze di oscillazione, L, negli esperimenti moderni, sono dell'ordine dei kilometri
• Le energie, E, sono tipicamente dell'ordine dei MeV o GeV.

Se la simmetria CP non è violata (δ = 0), la seconda sommatoria nella formula della probabilità è nulla.

Il caso a due neutrini

Se sono coinvolti nell'oscillazione solo due sapori, si trova

$P_{\alpha \rightarrow \beta ,\alpha \neq \beta }=\sin ^{2}(2\theta )\,\sin ^{2}\left(1.267{\frac {\Delta m^{2}L}{E}}{\frac {\rm {GeV}}{\rm {eV^{2}\,{\rm {km}}}}}\right).$

Questa formula è applicabile, ad esempio, al caso dei neutrini atmosferici ν_μ ↔ ν_τ, poiché il neutrino elettronico non è coinvolto. Si può anche applicare nel caso del Sole, ν_e ↔ ν_x, dove ν_x è una sovrapposizione di ν_μ e ν_τ. Queste approssimazioni sono possibili perché l'angolo di mixing θ₁₃ è piccolo, e due degli stati di massa sono simili rispetto al terzo.

File:Neutriniosc.png

Nella figura sopra, la curva blu rappresenta la probabilità che il neutrino mantenga il sapore originario, mentre la curva rossa rappresenta la probabilità che cambi sapore. La massima probabilità di conversione è sin²2θ. La frequenza di oscillazione dipende da Δm².

Le origini della massa del neutrino

La questione dell'origine della massa del neutrino non ha ancora trovato una risposta conclusiva. Nel modello standard, i fermioni hanno massa perché interagiscono con il campo di Higgs. Queste interazioni coinvolgono le versioni destrogire e levogire del fermione; i neutrini, però, esistono solo nella forma levogira. I neutrini, in quanto elettricamente neutri, potrebbero invece possedere una massa di Majorana, di diversa natura. Questo tipo di massa si può definire solo per particelle che coincidono con la loro antiparticella (condizione necessaria, quindi, è che siano elettricamente neutre), ma non è chiarito se i neutrini siano effettivamente identici agli antineutrini di ugual sapore.

Anche ammettendo che i neutrini siano particelle di Majorana, rimarrebbe comunque da spiegare perché le loro masse siano molto più piccole rispetto alle altre particelle conosciute (almeno 500.000 volte più piccole della massa dell'elettrone). Una possibile motivazione potrebbe essere la presenza di neutrini destrogiri, che interagiscano con il campo di Higgs in maniera analoga al resto dei fermioni, senza essere soggetti all'interazione elettrodebole. Il cosiddetto modello seesaw prevede l'esistenza di neutrini destrogiri con masse di Majorana molto grandi, i quali sarebbero associati a neutrini levogiri con massa molto piccola.

Bibliografia

• M. Maltoni, T. Schwetz, M. A. Tortola, J. W. F. Valle, "Status of global fits to neutrino oscillations" New Journal of Physics 6 (2004) 122.
• M.C. Gonzalez-Garcia, Y. Nir, "A review of evidence of neutrino masses and the implications", Reviews of Modern Physics 75 (2003) p.345-402.

Voci correlate

• Bosone (fisica)
• Equazione di Dirac
• Fermione
• Legge di conservazione
• Legge di conservazione del numero fermionico
• Lista delle particelle
• Numero B-L
• Neutrino

Collegamenti esterni

• (EN) Maury Goodman, "The Neutrino Oscillation Industry" (2006). (Provides links to many other neutrino oscillation websites.)
• (EN) Review Articles on arxiv.org