Teorema di Coulomb

In fisica, il teorema di Coulomb è una relazione che permette di determinare l'intensità del campo elettrico in prossimità della superficie di un corpo conduttore a partire dalla legge con cui sono distribuite le cariche.

Il teorema

Dato un corpo conduttore la cui superficie sia caratterizzata da una densità superficiale di carica $\sigma$, il campo elettrico prodotto in prossimità della superficie è:

$\mathbf {E} =-{\frac {{\partial }V}{{\partial }n}}={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {n} }}$;

dove $\varepsilon _{0}$ è la costante dielettrica del vuoto ed ${\hat {\mathbf {n} }}$ è il versore normale alla superficie del conduttore.

Dimostrazione

Dimostrazione del teorema di Coulomb

Si consideri una sfera tangente alla superficie del conduttore; si prenda quindi un punto con una prossimità alla superficie stessa dipendente dal rapporto tra il raggio di curvatura e la distanza dal centro.

La direzione del campo elettrico è strettamente radiale in quanto la presenza di un campo elettrico tangenziale muoverebbe le cariche, condizione che invaliderebbe l'ipotesi. Questa deduzione la si ricava anche dalla relazione tra il campo e il suo potenziale; essendo in un conduttore la differenza di potenziale tra due punti sempre nulla, sarà nulla anche la componente tangenziale di $\mathbf {E}$, in quanto $\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V$ (la variazione del potenziale è nulla).

Conoscendo le caratteristiche vettoriali si può applicare il teorema di Gauss. Si consideri un cilindro con base $ds$ infinitesima parallela al conduttore e di spessore $dh$ e si calcoli il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie. Dalla natura vettoriale del campo si nota che l'unico contributo al flusso è quello attraverso la base $ds$. Pertanto, considerando $\sigma ds$ il valore della carica distribuita sulla porzione di superficie $ds$:

$\Phi =\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} ={\frac {\sigma ds}{\varepsilon _{0}}}$

da cui si ottiene:

$\mathbf {E} ={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {n} }}$

Bibliografia

• S. Focardi, I. Massa, A. Uguzzoni, Fisica Generale - Elettromagnetismo, Casa Editrice Ambrosiana, pp. 85-86.

Voci correlate

• Campo elettrico
• Conduttore elettrico
• Densità di carica