Teorema di Rellich-Kondrakov: differenze tra le versioni
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Dal momento che un'[[Immersione (matematica)|immersione]] è compatta se e solo se l'operatore di inclusione è [[operatore compatto|compatto]], il teorema di Rellich-Kondrakov implica che ogni successione uniformemente limitata in <math>W^{1,p}(\Omega, \R)</math> possiede una [[sottosuccessione]] convergente in <math>L^{q}(\Omega, \R)</math>. Enunciato in tal modo, questo risultato è conosciuto come |
Dal momento che un'[[Immersione (matematica)|immersione]] è compatta se e solo se l'operatore di inclusione è [[operatore compatto|compatto]], il teorema di Rellich-Kondrakov implica che ogni successione uniformemente limitata in <math>W^{1,p}(\Omega, \R)</math> possiede una [[sottosuccessione]] convergente in <math>L^{q}(\Omega, \R)</math>. Enunciato in tal modo, questo risultato è conosciuto come teorema "di selezione" di Rellich-Kondrakov. |
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Il teorema di Rellich-Kondrakov può essere utilizzato per dimostrare la [[disuguaglianza di Poincaré]], che afferma che per <math>u \in >W^{1,p}(\Omega, \R)</math> (dove <math>\Omega \subseteq \R^n</math> soddisfa le medesime assunzioni poste in precedenza): |
Il teorema di Rellich-Kondrakov può essere utilizzato per dimostrare la [[disuguaglianza di Poincaré]], che afferma che per <math>u \in >W^{1,p}(\Omega, \R)</math> (dove <math>\Omega \subseteq \R^n</math> soddisfa le medesime assunzioni poste in precedenza): |
Versione delle 17:27, 21 giu 2014
In matematica, il teorema di Rellich-Kondrachov è un risultato relativo all'immersione compatta in spazi di Sobolev. Il nome del teorema è dovuto a Franz Rellich e Vladimir Iosifovich Kondrashov: Rellich mostrò il teorema in spazi , mentre Kondrashov fornì il caso di .
Enunciato
Sia un dominio lipschitziano aperto e limitato, e sia . Definendo:
lo spazio di Sobolev è immerso con continuità nello spazio Lp , ed è immerso con compattezza nello spazio , per ogni :
Conseguenze
Dal momento che un'immersione è compatta se e solo se l'operatore di inclusione è compatto, il teorema di Rellich-Kondrakov implica che ogni successione uniformemente limitata in possiede una sottosuccessione convergente in . Enunciato in tal modo, questo risultato è conosciuto come teorema "di selezione" di Rellich-Kondrakov.
Il teorema di Rellich-Kondrakov può essere utilizzato per dimostrare la disuguaglianza di Poincaré, che afferma che per Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle u \in >W^{1,p}(\Omega, \R)} (dove soddisfa le medesime assunzioni poste in precedenza):
per qualche costante dipendente soltanto da p e dalla geometria del dominio , dove:
denota il valor medio di su .
Bibliografia
- (EN) Evans, Lawrence C., Differential Equations, Partial, 2nd, American Mathematical Society, 2010, ISBN 0-8218-4974-3.
- (German) Franz Rellich, Ein Satz über mittlere Konvergenz, in Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, vol. 1930, 24 January 1930, pp. 30-35. Lingua sconosciuta: German (aiuto)
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Rellich selection theorem, in PlanetMath.